Question

已知函數(shù)f（x）滿足xf（x）=b+cf（x），b≠0，f（2）=-1，且f（1-x）=-f（x+1）對(duì)兩邊都有意義的任意 x都成立
（1）求f（x）的解析式及定義域
（2）寫出f（x）的單調(diào)區(qū)間，并用定義證明在各單調(diào)區(qū)間上是增函數(shù)還是減函數(shù)？

Answer 1

解：（1）由xf（x）=b+cf（x），b≠0，∴x≠c，得f（x）=，
由f（1-x）=-f（x+1），得=-，解得c=1，
由f（2）=-1，得-1=，解得b=-1，
∴f（x）==，
∵1-x≠0，∴x≠1，即f（x）的定義域?yàn)閧x|x≠1}．
（2）f（x）的單調(diào)區(qū)間為（-∞，1），（1，+∞）且都為增區(qū)間，
證明：當(dāng)x∈（-∞，1）時(shí)，設(shè)x₁＜x₂＜1，
則1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）=-=，
∵1-x₁＞0，1-x₂＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
∴f（x）在（-∞，1）上單調(diào)遞增．同理f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．
分析：（1）由xf（x）=b+cf（x）可求得f（x））=，由f（1-x）=-f（x+1）可得c值，由f（2）=-1可得b值，由表達(dá)式可得定義域；
（2）借助基本函數(shù)的單調(diào)性易求其單調(diào)區(qū)間，用定義即可證明；
點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)解析式的求解及單調(diào)區(qū)間的證明，屬基礎(chǔ)題，定義是證明函數(shù)單調(diào)性的基本方法．