已知c>0,設P:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減,Q:不等式x+|x-2c|>1對任意實數(shù)x恒成立,若“P或Q”為真,“P且Q”為假,求c的取值范圍.
分析:根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可求出命題p為真時,c的取值范圍;根據(jù)不等式恒成立的條件,可求出命題q為真時,c的取值范圍;進而根據(jù)復合命題真假判斷的真值表,可得命題p,q一真一假,分類討論后,綜合討論結(jié)果可得答案.
解答:解:若函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減,則0<c<1,
即命題p為真時,0<c<1,
由c>0,故命題p為假時,c≥1,
若不等式x+|x-2c|>1對任意實數(shù)x恒成立,則|x-2c|>-x+1對任意實數(shù)x恒成立,
當x>1時,-x+1<0,|x-2c|>-x+1恒成立
當x≤1時,-x+1≥0,若|x-2c|>-x+1恒成立
則x-2c=0,即x=2c時,|x-2c|=0>-x+1成立
即0>-2c+1,即c>
1
2
,
即命題q為真時,c>
1
2
,
由c>0,故命題q為假時,0<c≤
1
2

由“P或Q”為真,“P且Q”為假,可得命題p,q一真一假:
當p真q假時,0<c≤
1
2

當p假q真時,c≥1
故c的取值范圍為(0,
1
2
)∪(1,+∞)
點評:本題考查的知識點是指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,不等式恒成立的條件,復合命題真假判斷的真值表,求出命題p,q為真時,c的取值范圍,是解答的關鍵.
練習冊系列答案
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科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

已知c>0,設P:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減,Q:不等式x+|x-2c|>1的解集為R.如果P和Q有且僅有一個正確,求c的取值范圍.

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已知c>0,設p:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減;q:函數(shù)g(x)=lg(2cx2+2x+1)的值域為R,如果“p且q”為假命題,“p或q為真命題,則c的取值范圍是( 。

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已知c>0,設P:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減,Q:當x∈[
1
2
,2]時,不等式5c<x+
1
x
有解,若“P或Q”為真,“P且Q”為假,求c的取值范圍.

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已知c>0,設p:函數(shù)y=cx在R上單調(diào)遞減; Q:x+|x-2c|>1不等式的解集為R.如果p和Q有且僅有一個正確,求c的取值范圍
(0,
1
2
]∪[1,+∞)
(0,
1
2
]∪[1,+∞)

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