【題目】已知橢圓C:+=1(a>b>0)的兩個焦點分別為F1,F2,短軸的一個端點為P,△PF1F2內(nèi)切圓的半徑為,設(shè)過點F2的直線l與被橢圓C截得的線段為RS,當l⊥x軸時,|RS|=3.
(1) 求橢圓C的標準方程;
(2) 若點M(0,m),(),過點M的任一直線與橢圓C相交于兩點A.B,y軸上是否存在點N(0,n)使∠ANM=∠BNM恒成立?若存在,判斷m、n應(yīng)滿足關(guān)系;若不存在,說明理由。
(3) 在(2)條件下m=1時,求△ABN面積的最大值。
【答案】(1)+=1;(2)答案不唯一,見解析;(3).
【解析】
(1)由內(nèi)切圓半徑表示三角形的面積,可得,再由,求得橢圓方程;
(2)分軸和不垂直于軸時兩種情況,當AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m,直線與橢圓方程聯(lián)立,,代入根與系數(shù)的關(guān)系,得到的關(guān)系;
(3)由(2)得n=3 M(0,1).N(0,3)設(shè)直線AB的方程為y=kx+1,也橢圓方程聯(lián)立,得到根與系數(shù)的關(guān)系,并表示面積,代入根與系數(shù)的關(guān)系,利用基本不等式求最值.
(1)由內(nèi)切圓的性質(zhì),得×2c×b=×(2a+2c)×,得=.
將x=c代入+=1,得y=±,所以=3.
又a2=b2+c2,所以a=2,b=,故橢圓C的標準方程為+=1.
(2) ①當AB⊥x軸時,可知∠ANM=∠BNM=0.
②當AB與x軸不垂直時,設(shè)直線AB的方程為y=kx+m.
聯(lián)立方程消去y得,(3+4k2)x2+8kmx+4m2-12=0.()
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,x1x2=.
假設(shè)存在N(0,n)
則kAN+kBN=
=
=0.(*),對任意k∈R恒成立.
所以mn=3且m≠0.
m=0時由(*)式知不存在點N符合題意,
綜上:m=0時不存在, 時存在點N(0,n),mn=3。
(3)由(2)得n=3 M(0,1).N(0,3)設(shè)直線AB的方程為y=kx+1.
由
設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),則,x1x2=.
,令則t ≥1,
當且僅當 t=1,k=0時 取的最大值。
所以△ABN面積的最大值為
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【題目】已知數(shù)列、滿足,其中數(shù)列的前項和,
(1)若數(shù)列是首項為.公比為的等比數(shù)列,求數(shù)列的通項公式;
(2)若,求證:數(shù)列滿足,并寫出的通項公式;
(3)在(2)的條件下,設(shè),求證中任意一項總可以表示成該數(shù)列其它兩項之積.
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【題目】“工資條里顯紅利,個稅新政入民心”.隨著2019年新年鐘聲的敲響,我國自1980年以來,力度最大的一次個人所得稅(簡稱個稅)改革迎來了全面實施的階段.某從業(yè)者為了解自己在個稅新政下能享受多少稅收紅利,繪制了他在26歲-35歲(2009年-2018年)之間各年的月平均收入(單位:千元)的散點圖:(注:年齡代碼1-10分別對應(yīng)年齡26-35歲)
(1)由散點圖知,可用回歸模型擬合與的關(guān)系,試根據(jù)有關(guān)數(shù)據(jù)建立關(guān)于的回歸方程;
(2)如果該從業(yè)者在個稅新政下的專項附加扣除為3000元/月,試利用(1)的結(jié)果,將月平均收入視為月收入,根據(jù)新舊個稅政策,估計他36歲時每個月少繳納的個人所得稅.
附注:①參考數(shù)據(jù):,,,,
,,,其中:取,.
②參考公式:回歸方程中斜率和截距的最小二乘估計分別為,.
③新舊個稅政策下每月應(yīng)納稅所得額(含稅)計算方法及稅率表如下:
舊個稅稅率表(個稅起征點3500元) | 新個稅稅率表(個稅起征點5000元) | |||
繳稅 級數(shù) | 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點 | 稅率 | 每月應(yīng)納稅所得額(含稅)收入個稅起征點專項附加扣除 | 稅率 |
1 | 不超過1500元的都分 | 3 | 不超過3000元的都分 | 3 |
2 | 超過1500元至4500元的部分 | 10 | 超過3000元至12000元的部分 | 10 |
3 | 超過4500元至9000元的部分 | 20 | 超過12000元至25000元的部分 | 20 |
4 | 超過9000元至35000元的部分 | 25 | 超過25000元至35000元的部分 | 25 |
5 | 超過35000元至55000元的部分 | 30 | 超過35000元至55000元的部分 | 30 |
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【題目】已知圓C經(jīng)過點A(2,-1),和直線x+y=1相切,且圓心在直線y=-2x上.
(1)求圓C的方程;
(2)已知直線l經(jīng)過(2,0)點,并且被圓C截得的弦長為2,求直線l的方程.
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【題目】下列推理不屬于合情推理的是( )
A. 由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電,得出一切金屬都能導(dǎo)電.
B. 半徑為的圓面積,則單位圓面積為.
C. 由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì).
D. 猜想數(shù)列2,4,8,…的通項公式為. .
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【題目】下列推理不屬于合情推理的是( )
A. 由銅、鐵、鋁、金、銀等金屬能導(dǎo)電,得出一切金屬都能導(dǎo)電.
B. 半徑為的圓面積,則單位圓面積為.
C. 由平面三角形的性質(zhì)推測空間三棱錐的性質(zhì).
D. 猜想數(shù)列2,4,8,…的通項公式為. .
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【題目】如表是某位同學連續(xù)5次周考的數(shù)學、物理的成績,結(jié)果如下:
周次 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 |
數(shù)學(分) | 79 | 81 | 83 | 85 | 87 |
物理(分) | 77 | 79 | 79 | 82 | 83 |
參考公式:,,表示樣本均值.
(1)求該生5次月考數(shù)學成績的平均分和物理成績的方差;
(2)一般來說,學生的數(shù)學成績與物理成績有較強的線性相關(guān)關(guān)系,根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù),求兩個變量的線性回歸方程.
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【題目】在正方體中,如果動點在線段上,動點在正方體的四條邊上,那么,對于任何一條直線,在平面上,總存在相應(yīng)的一條直線,使得該直線與直線( )
A.平行B.異面C.相交D.垂直
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