Question

已知函數(shù)y=xf′（x）的圖象如圖所示（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則以下說法錯(cuò)誤的是（　　）

• A、f′（1）+f′（-1）=0
• B、當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值
• C、方程xf'（x）=0與f（x）=0均有三個(gè)實(shí)數(shù)根
• D、當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：根據(jù)函數(shù)y=xf′（x）的圖象，依次判斷f（x）在區(qū)間（-∞，-1），（-1，0），（0，1），（1，+∞）上的單調(diào)性畫出函數(shù)f（x）的大致圖象，從而可以得到正確答案．

解答： 解：由函數(shù)y=xf′（x）的圖象可知：
當(dāng)x＜-1時(shí)，xf′（x）＜0，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）增
當(dāng)-1＜x＜0時(shí)，xf′（x）＞0，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）減
當(dāng)0＜x＜1時(shí)，xf′（x）＜0，f′（x）＜0，此時(shí)f（x）減
當(dāng)x＞1時(shí)，xf′（x）＞0，f′（x）＞0，此時(shí)f（x）增．
綜上所述，函數(shù)f（x）大致圖象是，
故f′（1）=0，f′（-1）=0，所以A、B、D正確；
故選C．

點(diǎn)評(píng)：本題間接利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查函數(shù)的圖象問題．本題有一定的代表性，是一道好題．