已知四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PD⊥底面ABCD．
（1）求證：△PAB≌△PCB；
（2）求證：AC⊥PB；
（3）若PD=2
2
，AB=
5
，二面角A-BP-C為120°，求四菱錐P-ABCD的體積．
考點(diǎn)：與二面角有關(guān)的立體幾何綜合題,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積
專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角
分析：（1）四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PD⊥底面ABCD，可得PA=PC，AB=AC，即可證明：△PAB≌△PCB；
（2）證明：AC⊥平面PDB，即可證明AC⊥PB；
（3）若PD=2
2
，AB=
5
，二面角A-BP-C為120°，求出ABCD的面積，即可求出體積．
解答： （1）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，PD⊥底面ABCD，
∴PA=PC，AB=AC，
∵PB=PB，
∴△PAB≌△PCB；
（2）證明：∵四棱錐P-ABCD的底面為菱形，
∴AC⊥BD，
∴AC⊥PD，BD∩PD=D，
∴AC⊥平面PDB，
∵PB?平面PDB，
∴AC⊥PB；
（3）解：作AE⊥PB，連接CE，則CE⊥PB，
∴∠AEC=120°，
∵PD=2
2
，AB=
5
，
∴PA=
13
，PB=3
2
，
∴AE=
65
3
2
，
∴由余弦定理可得AC=
65
18
+
65
18
-2•
65
18
•(-
1
2
)=
65
6
，
∴cos∠ABC=
5+5-
65
6
2•
5
•
5
=-
1
12
，
∴sin∠ABC=
143
12
，
∴SABCD=
5
143
12
，
∴四棱錐P-ABCD的體積V=
1
3
•
5
143
12
•2
2
=
5
286
18
．
點(diǎn)評(píng)：本題考查三角形全等的證明，考查線面垂直，考查體積的計(jì)算，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

在等差數(shù)列{an}中，a3+a7=6，則a2+a5+a8=
 
．

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若正數(shù)x、y滿足log9x=log12y=log16（x+y），則
y
x
=
 
．

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寫(xiě)出解方程組
x+y=3
y+z=5
z+x=4
的一個(gè)算法，并畫(huà)出流程圖．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)y=xf′（x）的圖象如圖所示（其中f′（x）是函數(shù)f（x）的導(dǎo)函數(shù)），則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（　　）
A、f′（1）+f′（-1）=0
B、當(dāng)x=-1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極大值
C、方程xf'（x）=0與f（x）=0均有三個(gè)實(shí)數(shù)根
D、當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)f（x）取得極小值

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知兩定點(diǎn)F1（-4，0），F(xiàn)2（4，0），G是平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，H在線段F1G上，P在線段F2G上，F(xiàn)2G=10，2
F1H
=
F1G
，
HP
•
F1G
=0，則P的軌跡方程是
 
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知函數(shù)f（x）=
x
x+1
，數(shù)列{an}滿足a1=1，an+1=f（an）．
（1）求證：數(shù)列{
1
an
}是等差數(shù)列；
（2）設(shè)bn=anan+1，記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為sn，求證：
1
2
≤sn＜1．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

某種商品的銷售量x與它的銷售單價(jià)P（元）之間的關(guān)系是P=275-3x，與總成本q之間的關(guān)系是q=500+5x，問(wèn)每月要求獲得的最低利潤(rùn)是5500元，至少要銷售多少件商品？

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

已知x、y滿足約束條件
x≥0
y≥0
2x+y≥1
，則
(x+1) 2+y 2
的最小值為（　�。�
A、
2
B、2
C、
3
5
5
D、
2
5
5

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