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圖示是一個幾何體的直觀圖，畫出它的三視圖．

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在直角梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2

2

，∠ABC=90°（如圖1）．把△ABD沿BD翻折，使得二面角A-BD-C的平面角為θ（如圖2）
（1）若θ=

π

2

，求證：CD⊥AB；
（2）是否存在適當(dāng)θ的值，使得AC⊥BD，若存在，求出θ的值，若不存在說明理由；
（3）若θ=

π

2

，取BD中點M，BC中點N，P、Q分別為線段AB與DN上一點，使得

AP

PB

=

NQ

QD

=λ(λ∈R)．令PQ與BD和AN所成的角分別為θ₁和θ₂．求sinθ₁+sinθ₂的最大值．

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已知三棱錐P-ABC，∠PAC=∠ABC=90°，PA=AC=2BC，平面PAC⊥平面ABC，D、E分別是PB、PC的中點．
（Ⅰ）求證：BC⊥平面PAB；
（Ⅱ）求二面角P-ED-A的余弦值．

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如圖，PCBM是直角梯形，∠PCB=90°，PM∥BC，PM=PC=AC=1，BC=2，又∠ACB=120°，AB⊥PC．
（1）求證：平面PAC⊥平面ABC；
（2）求二面角M-AC-B的平面角的余弦值．

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在四棱錐P-ABCD中，側(cè)面PCD⊥底面ABCD，PD⊥CD，底面ABCD是直角梯形，AB∥CD，∠ADC=90°，AB=AD=PD=1，若 E為PC的中點，且BE與平面PDC所成的角的正弦值為

2 5

5

，
（1）求CD的長
（2）求證BC⊥平面PBD
（3）設(shè)Q為側(cè)棱PC上一點，

PQ

=λ

PC

，試確定λ的值，使得二面角Q-BD-P的大小為45°．

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如圖甲，△ABC是邊長為6的等邊三角形，E，D分別為AB、AC靠近B、C的三等分點，點G為BC邊的中點．線段AG交線段ED于F點，將△AED沿ED翻折，使平面AED⊥平面BCDE，連接AB、AC、AG形成如圖乙所示的幾何體．
（Ⅰ）求證BC⊥平面AFG；
（Ⅱ）求二面角B-AE-D的余弦值．

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