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【題目】已知四面體有五條棱長為3,且外接球半徑為2.動點P在四面體的內(nèi)部或表面,P到四個面的距離之和記為s.已知動點P在,兩處時,s分別取得最小值和最大值,則線段長度的最小值為______.
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【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處,再以的概率向右滾下.
(1)若進行一次高爾頓板試驗,求小球落入第7層第6個空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動,8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎金為元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
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【題目】我國古代數(shù)學(xué)家祖暅提出原理:“冪勢既同,則積不容異”.其中“冪”是截面積,“勢”是幾何體的高.原理的意思是:夾在兩個平行平面間的兩個幾何體,被任一平行于這兩個平行平面的平面所截,若所截的兩個截面的面積恒相等,則這兩個幾何體的體積相等.如圖(1),函數(shù)的圖象與x軸圍成一個封閉區(qū)域A(陰影部分),將區(qū)域A(陰影部分)沿z軸的正方向上移6個單位,得到一幾何體.現(xiàn)有一個與之等高的底面為橢圓的柱體如圖(2)所示,其底面積與區(qū)域A(陰影部分)的面積相等,則此柱體的體積為______.
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【題目】如圖所示,將方格紙中每個小方格染三種顏色之一,使得每種顏色的小方格的個數(shù)相等.若相鄰兩個小方格的顏色不同,稱他們的公共邊為“分割邊”,則分割邊條數(shù)的最小值為( )
A.33B.56C.64D.78
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【題目】分形幾何是美籍法國數(shù)學(xué)家芒德勃羅在20世紀70年代創(chuàng)立的一門數(shù)學(xué)新分支,其中的“謝爾賓斯基”圖形的作法是:先作一個正三角形,挖去一個“中心三角形”(即以原三角形各邊的中點為頂點的三角形),然后在剩下的每個小正三角形中又挖去一個“中心三角形”.按上述方法無限連續(xù)地作下去直到無窮,最終所得的極限圖形稱為“謝爾賓斯基”圖形(如圖所示),按上述操作7次后,“謝爾賓斯基”圖形中的小正三角形的個數(shù)為( )
A.B.C.D.
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【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處,再以的概率向右滾下.
(1)若進行一次高爾頓板試驗,求小球落入第7層第6個空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團文化節(jié)上進行盈利性“抽獎”活動,8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎金為元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
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【題目】已知首項為的數(shù)列各項均為正數(shù),且,.
(1)若數(shù)列的通項滿足,且,求數(shù)列的前n項和為;
(2)若數(shù)列的通項滿足,前n項和為,當數(shù)列是等差數(shù)列時,對任意的,均存在,使得成立,求滿足條件的所有整數(shù)構(gòu)成的集合.
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【題目】如圖,多面體是正三棱柱(底面是正三角形的直棱柱)沿平面切除一部分所得,其中平面為原正三棱柱的底面,,點D為的中點.
(1)求證:平面;
(2)求二面角的平面角的余弦值.
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