【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ,前面擋有一塊玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處,再以的概率向右滾下.
(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動,8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎金為元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
【答案】(1);(2)(i)分布列見解析;(ii)能盈利.
【解析】
(1)記小球落入第7層第6個空隙處的事件為M,小球落入第7層第6個空隙處,需要在6次碰撞中有1次向左5次向右,由此能求出這個小球掉入第7層第6個空隙處的概率;
(2)X的取值為1,2,3,4,5,6,7,由此能求出X的分布列,進(jìn)而可求出的分布列和,從而能求出小明同學(xué)能盈利.
(1)記小球落入第7層第6個空隙處的事件為M,小球落入第7層第6個空隙處,需要在6次碰撞中有1次向左5次向右,
則;
(2)(i)由已知X的取值可為1,2,3,4,5,6,7.
;
;
;
,
∴X的分布列為
X | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
P |
(ii)
的可能取值為0,5,10,15,
,
,
,
,
∴.
∴小明同學(xué)能盈利.
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【題目】已知正方體,過對角線作平面交棱于點(diǎn)E,交棱于點(diǎn)F,則:
①平面分正方體所得兩部分的體積相等;
②四邊形一定是平行四邊形;
③平面與平面不可能垂直;
④四邊形的面積有最大值.
其中所有正確結(jié)論的序號為( )
A.①④B.②③C.①②④D.①②③④
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【題目】已知為坐標(biāo)原點(diǎn),橢圓:的焦距為,直線截圓:與橢圓所得的弦長之比為,橢圓與軸正半軸的交點(diǎn)分別為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)點(diǎn)(且)為橢圓上一點(diǎn),點(diǎn)關(guān)于軸的對稱點(diǎn)為,直線,分別交軸于點(diǎn),.試判斷是否為定值?若是求出該定值,若不是定值,請說明理由.
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【題目】高爾頓板是英國生物統(tǒng)計學(xué)家高爾頓設(shè)計用來研究隨機(jī)現(xiàn)象的模型,在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯開的圓柱形小木塊,小木塊之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ溃懊鎿跤幸粔K玻璃,讓一個小球從高爾頓板上方的通道口落下,小球在下落的過程中與層層小木塊碰撞,且等可能向左或向右滾下,最后掉入高爾頓板下方的某一球槽內(nèi).如圖所示的小木塊中,上面7層為高爾頓板,最下面一層為改造的高爾頓板,小球從通道口落下,第一次與第2層中間的小木塊碰撞,以的概率向左或向右滾下,依次經(jīng)過6次與小木塊碰撞,最后掉入編號為1,2…,7的球槽內(nèi).例如小球要掉入3號球槽,則在前5次碰撞中有2次向右3次向左滾到第6層的第3個空隙處,再以的概率向左滾下,或在前5次碰撞中有1次向右4次向左滾到第6層的第2個空隙處,再以的概率向右滾下.
(1)若進(jìn)行一次高爾頓板試驗(yàn),求小球落入第7層第6個空隙處的概率;
(2)小明同學(xué)在研究了高爾頓板后,利用該圖中的高爾頓板來到社團(tuán)文化節(jié)上進(jìn)行盈利性“抽獎”活動,8元可以玩一次高爾頓板游戲,小球掉入X號球槽得到的獎金為元,其中.
(i)求X的分布列:
(ii)高爾頓板游戲火爆進(jìn)行,很多同學(xué)參加了游戲,你覺得小明同學(xué)能盈利嗎?
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【題目】在三棱錐中,BO、AO、CO所在直線兩兩垂直,且AO=CO,∠BAO=60°,E是AC的中點(diǎn),三棱錐的體積為
(1)求三棱錐的高;
(2)在線段AB上取一點(diǎn)D,當(dāng)D在什么位置時,和的夾角大小為
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【題目】已知,為兩非零有理數(shù)列(即對任意的,均為有理數(shù)),為一無理數(shù)列(即對任意的,為無理數(shù)).
(1)已知,并且對任意的恒成立,試求的通項(xiàng)公式.
(2)若為有理數(shù)列,試證明:對任意的,恒成立的充要條件為.
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【題目】在平面直角坐標(biāo)系中,橢圓過點(diǎn),焦點(diǎn),圓的直徑為.
(1)求橢圓及圓的方程;
(2)設(shè)直線與圓相切于第一象限內(nèi)的點(diǎn),直線與橢圓交于兩點(diǎn).若的面積為,求直線的方程.
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【題目】己知無窮數(shù)列的前項(xiàng)和為,若對于任意的正整數(shù),均有,則稱數(shù)列具有性質(zhì).
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