(2011?石景山區(qū)一模)如圖所示,圓心在原點、半徑為R的圓將xOy平面分為兩個區(qū)域,在圓內區(qū)域Ⅰ(r≤R)和圓外區(qū)域Ⅱ(r>R)分別存在兩個勻強磁場,方向均垂直于xOy平面.垂直于xOy平面放置兩塊平面熒光屏,其中熒光屏甲平行于x軸放置在
y=-2.2R的位置,熒光屏乙平行于y軸放置在x=3.5R的位置.現(xiàn)有一束質量為m、電荷量為q(q>0)、動能為E0的粒子從坐標為(-R,0)的A點沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ,最終打在熒光屏甲上,出現(xiàn)亮點N的坐標為(0.4R,-2.2R).若撤去圓外磁場,粒子也打在熒光屏甲上,出現(xiàn)亮點M的坐標為(0,-2.2R),此時,若將熒光屏甲沿y軸負方向平移,發(fā)現(xiàn)亮點的x軸坐標始終保持不變.不計粒子重力影響.
(1)求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度v1、v2的大;
(2)求在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中磁感應強度B1、B2的大小和方向;
(3)若上述兩個磁場保持不變,熒光屏仍在初始位置,但從A點沿x軸正方向射入?yún)^(qū)域Ⅰ的粒子束改為質量為m、電荷量為-q、動能為3E0的粒子,求熒光屏上出現(xiàn)亮點的坐標.
分析:由于洛倫茲力對粒子不做功,則運動的速度由粒子的動能求得.在沒有圓外磁場時,粒子從A點射入,完成
1
4
圓弧后射出.因此可以根據(jù)圓形磁場的半徑來求出B1磁場大小與方向.當粒子沿y軸負方向射入磁場B2時,根據(jù)打到熒光屏甲上的坐標,結合幾何關系,可以算出磁場B2的大小與方向.
當改變電荷的電性及初動能時,由B1磁場大小與方向可求出粒子的運動軌道半徑,再由B2磁場大小與方向可求出粒子在此的軌道半徑.從而由幾何關系可確定粒子打到熒光屏的坐標.
解答:解:(1)由于在磁場中運動時洛侖茲力不做功,所以在區(qū)域Ⅰ和Ⅱ中粒子運動速度大小就是在A點入射時初始速度大小v,由E0=
1
2
mv2
可得
v1=v2=v=
2E0
m

(2)粒子在區(qū)域Ⅰ中運動了四分之一圓周后,從C點沿y軸負方向進入?yún)^(qū)域Ⅱ的磁場.如圖1所示,圓周運動的圓心是O1點,半徑為

r1=R
qv1B=m
v
2
1
r1
,得B1=
mv1
qr1
=
2mE0
qR
 
方向垂直xoy平面向外.  
粒子進入?yún)^(qū)域Ⅱ后做半徑為r2的圓周運動,由qv2B2=m
v
2
2
r2
,
可得r2=
mv2
qB2
,
圓周運動的圓心O2坐標為(r2,-R),圓周運動軌跡方程為
(x-r2)2+(y+R)2=
r
2
2

將N點的坐標(0.4R,-2.2R)代入上式,可得
r2=2R   
求得:B2=
mv2
qr2
=
2mE0
2qR

方向垂直xoy平面向里.   
(3)如圖2所示,粒子先在區(qū)域Ⅰ中做圓周運動.由3E0=
1
2
mv2
可知,
運動速度為           v′=
6E0
m
=
3
v

軌道半徑為      r3=
mv′
qB1
=
3
mv
qB1
=
3
R
 
由圓心O3的坐標(-R,
3
R
)可知,O3A與O3O的夾角為30°.通過分析如圖的幾何關系,粒子從D點穿出區(qū)域Ⅰ的速度方向與x軸正方向的夾角為θ=60°
粒子進入?yún)^(qū)域Ⅱ后做圓周運動的半徑為
r4=
mv′
qB2
=2
3
mv
qB1
=2
3
R
    
其圓心O4的坐標為(Rcos60°+r4cos30°,Rsin60°-r4sin30°),
即(
7
2
R
,-
3
2
R
),說明圓心O4恰好在熒光屏乙上.所以,亮點將出現(xiàn)在熒光屏乙上的P點,
其y軸坐標為y=-
3
2
R+r4=
3
3
2
R

其x軸坐標為x=3.5R.
點評:根據(jù)粒子的坐標,定出圓心,并畫出運動軌道,由幾何關系來確定半徑,從而求出磁感應強度大小及判定其方向.值得注意的是:磁場方向相反時粒子運動圓弧所對應的圓心在一條直線上.
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1
81
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1
4
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