Question

11．如圖所示是螺旋形翻滾過(guò)山軌道，一質(zhì)量為100kg的小車(chē)從高14m處由靜止滑下，當(dāng)它通過(guò)半徑R為4m的豎直圓軌道最高點(diǎn)A時(shí)，對(duì)軌道的壓力恰等于車(chē)重的1.5倍，問(wèn)小車(chē)離地面11m高處滑下，能否安全通過(guò)A點(diǎn)？（g取10m/s²）

Answer 1

分析 小車(chē)在軌道上運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，除重力做功外，各種阻力也做功，先根據(jù)牛頓第二定律求出小車(chē)在通過(guò)A點(diǎn)的速度，然后求出要使小球能夠通過(guò)圓軌道最高點(diǎn)，那么小球在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是恰好是物體的重力作為物體的向心力，由向心力的公式可以求得此時(shí)的最小的速度，再由機(jī)械能守恒可以求得離地面的高度h．

解答 解：設(shè)小車(chē)經(jīng)過(guò)A點(diǎn)的速率為v_A，此時(shí)小車(chē)在豎直方向受到重力和軌道壓力N的作用，且N=1.5mg，由牛頓第二定律，得
 $N+mg=\frac{m{{v}_{A}}^{2}}{R}$）
設(shè)小車(chē)從B點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到A點(diǎn)克服各種阻力所做的功為W，由動(dòng)能定律得
mg（h-2R）-W=$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$ 
解得W=mg（h-2R）-$\frac{1}{2}m{v}_{A}^{2}$
代入數(shù)據(jù)得：W=1000J    
若保證小車(chē)安全通過(guò)豎直面圓軌道，小車(chē)通過(guò)A點(diǎn)的最小速度為，則有
mg=$\frac{mv{′}_{A}^{2}}{R}$，得：$v{′}_{A}=\sqrt{Rg}$
由于小車(chē)下滑高度減小，通過(guò)軌道上各點(diǎn)時(shí)的速度減小，所需向心加速度減小，對(duì)軌道的壓力減小，軌道對(duì)小車(chē)的摩擦及空氣阻力都減小，因此，克服阻力所做的功減小，即
Wˊ＜W=1000J
設(shè)小車(chē)開(kāi)始下滑的高度為hˊ，則
mg（hˊ-2R）-W ˊ=$\frac{1}{2}mv{′}_{A}^{2}-0=\frac{1}{2}mgR$
整理得：hˊ=$\frac{W′}{mg}+\frac{R}{2}+2R$
代入數(shù)據(jù)得：h′=11m
所以，小車(chē)從離地面11m高處下滑能安全通過(guò)A點(diǎn)． 
答：小車(chē)離地面11m高處滑下，能安全通過(guò)A點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng) 本題屬于圓周運(yùn)動(dòng)中繩的模型，在最高點(diǎn)時(shí)應(yīng)該是重力恰好做為圓周運(yùn)動(dòng)的向心力，對(duì)于圓周運(yùn)動(dòng)中的兩種模型一定要牢牢的掌握住．