Question

13．如圖所示，兩根等高光滑的四分之一圓弧軌道，半徑為r，間距為L，軌道電阻不計，在軌道頂端連有一阻值為R的電阻，整個裝置處在一豎直向上的勻強磁場中，磁感應強度為B，現(xiàn)有一根長度稍大于L，電阻為$\frac{1}{3}R$，質(zhì)量為m的金屬棒從軌道最低位置cd開始，在拉力作用下以速度v₀向右沿軌道做勻速圓周運動至ab處，求：
（1）初始時刻cd兩端的電壓；
（2）在該過程中R上產(chǎn)生的熱量；
（3）拉力做的功．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)法拉第電磁感應定律可得感應電動勢，根據(jù)串聯(lián)電路特點求解初始時刻cd兩端的電壓；
（2）分析電路中電磁感應產(chǎn)生的感應電流的特點，求出電流的有效值，根據(jù)焦耳定律求解R上產(chǎn)生的熱量；
（3）由動能定理可得拉力做的功．

解答 解：（1）剛進入時，根據(jù)法拉第電磁感應定律可得感應電動勢為：E=BLv₀，
根據(jù)串聯(lián)電路特點可知：U_外：U_內(nèi)=3：1，
解得：${U_{cd}}={U_外}=\frac{3}{4}BL{v_0}$
（2）導體棒在磁場中做勻速圓周運動，相當于矩形線圈一條邊框在磁場中轉動，因電磁感應產(chǎn)生的感應電流為正、余弦交流電，所以有：
${E_m}=BLr\frac{v_0}{r}=BL{v_0}$
電流的有效值為：$I=\frac{{\frac{E_m}{{\sqrt{2}}}}}{{R+\frac{R}{3}}}$
所以R上產(chǎn)生的熱量為：
${Q_R}={I^2}Rt$，
經(jīng)過的時間為：$t=\frac{{r\frac{π}{2}}}{v_0}$，
解得：${Q_R}=\frac{{9π{B^2}{L^2}{v_0}}}{64R}r$；
（3）由動能定理可得：${W_F}-mgr+{Q_總}=\frac{1}{2}mv_0^2-\frac{1}{2}mv_0^2$
其中：${Q_總}={I^2}（R+\frac{R}{3}）t$，
解得：${W_F}=mgr+\frac{{3π{B^2}{L^2}{v_0}}}{16R}r$．
答：（1）初始時刻cd兩端的電壓為$\frac{3}{4}BL{v}_{0}$；
（2）在該過程中R上產(chǎn)生的熱量為$\frac{9π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{64R}r$；
（3）拉力做的功為$mgr+\frac{3π{B}^{2}{L}^{2}{v}_{0}}{16R}r$．

點評 對于電磁感應問題研究思路常常有兩條：一條從力的角度，根據(jù)牛頓第二定律或平衡條件列出方程；另一條是能量，分析涉及電磁感應現(xiàn)象中的能量轉化問題，根據(jù)動能定理、功能關系等列方程求解．本題要知道感應電流的特點，能夠利用有效值進行求解熱量．