Question

19．如圖所示，兩垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)以MN為邊界，MN邊界上方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₁大于下方磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小B₂（未知）．有一長(zhǎng)為l的絕緣平直擋板與MN重合，一個(gè)質(zhì)量為m，電量為q的帶正電粒子，從擋板的中點(diǎn)O處沿垂直擋板方向以速度v=$\frac{q{B}_{1}l}{mk}$（k為偶數(shù)）進(jìn)入上方磁場(chǎng)中，假設(shè)粒子與擋板發(fā)生碰撞并反彈過(guò)程沒(méi)有能量損失，且粒子在下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)與擋板發(fā)生碰撞，粒子最終能回到出發(fā)點(diǎn)O，不計(jì)粒子重力．若k=4，則粒子從擋板邊緣進(jìn)入下方磁場(chǎng)中．求：
（1）若k=4，粒子在MN邊界上方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑．
（2）試畫(huà)出k=10時(shí)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡．
（3）求兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的比值$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}$．

Answer 1

分析 （1）由洛倫茲力作向心力求解半徑即可；
（2）由粒子回到O點(diǎn)、粒子運(yùn)動(dòng)與擋板的關(guān)系及擋板長(zhǎng)度與粒子運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系得到上下磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)半徑的關(guān)系，進(jìn)而得到運(yùn)動(dòng)軌跡；
（3）由R₁的表達(dá)式可知要分$\frac{k}{2}$為奇數(shù)、偶數(shù)兩種情況討論即可由（2）的半徑關(guān)系得到磁感應(yīng)強(qiáng)度之比．

解答 解：（1）粒子在MN邊界上方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)，粒子只受洛倫茲力，所以有，洛倫茲力作為向心力，即有：${B}_{1}qv=\frac{m{v}^{2}}{{R}_{1}}$，
所以，粒子在MN邊界上方磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：${R}_{1}=\frac{mv}{{B}_{1}q}=\frac{l}{k}=\frac{l}{4}$；
（2）由（1）可知，粒子在MN邊界上方磁場(chǎng)中做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為：${{R}_{1}}^{'}=\frac{l}{k}=\frac{l}{10}$；
擋板O點(diǎn)左端長(zhǎng)$\frac{l}{2}$=$5{{R}_{1}}^{'}$，所以，粒子與擋板碰撞兩次后進(jìn)入下方，進(jìn)入下方磁場(chǎng)的入射點(diǎn)距離擋板左端${{R}_{1}}^{'}$；
粒子在下方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)不會(huì)與擋板發(fā)生碰撞，所以在下方磁場(chǎng)粒子運(yùn)動(dòng)半徑有：${2R}_{2}≥11{{R}_{1}}^{'}$；
因?yàn)榱Ｗ幼罱K能回到出發(fā)點(diǎn)O，所以有：$2{R}_{2}-2{{R}_{1}}^{'}=10{{R}_{1}}^{'}$，
所以粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡如圖所示，
（3）由${R}_{1}=\frac{l}{k}$，且k為偶數(shù)，根據(jù)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡可知，分兩種情況
①當(dāng)k為4的倍數(shù)時(shí)，粒子從擋板邊緣進(jìn)入下方磁場(chǎng)，此時(shí)${R}_{2}=\frac{l}{2}$，所以$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{l}{k}}=\frac{k}{2}$；
②當(dāng)k不是4的倍數(shù)時(shí)，粒子從距擋板邊緣R₁處進(jìn)入下方磁場(chǎng)，此時(shí)${R}_{2}=\frac{l}{2}+{R}_{1}$，所以$\frac{{B}_{1}}{{B}_{2}}=\frac{{R}_{2}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{l}{2}+{R}_{1}}{{R}_{1}}=\frac{\frac{l}{2}}{\frac{l}{k}}+1=\frac{k}{2}+1$．
答：（1）若k=4，粒子在MN邊界上方磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡半徑為$\frac{l}{4}$；
（3）當(dāng)k為4的倍數(shù)時(shí)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的比值為$\frac{k}{2}$；當(dāng)k不是4的倍數(shù)時(shí)，兩磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小的比值為$\frac{k}{2}+1$．

點(diǎn)評(píng) 帶電粒子在磁場(chǎng)中的問(wèn)題，一般利用洛倫茲力作為向心力，求得半徑的表達(dá)式，然后，根據(jù)幾何關(guān)系求解．