Question

15．如圖甲所示，軌道ABC由一個(gè)傾角為θ=30^°的斜面AB和一個(gè)水平面BC組成，一個(gè)可視為質(zhì)點(diǎn)的質(zhì)量為m的滑塊從A點(diǎn)由靜止開始下滑，滑塊在軌道ABC上運(yùn)動(dòng)的過程中，受到水平向左的恒力F的作用、大小和時(shí)間的關(guān)系如圖乙所示，經(jīng)過時(shí)間t₀滑塊經(jīng)過B點(diǎn)時(shí)無機(jī)械能損失，最后停在水平軌道BC上，滑塊與軌道之間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=0.5，已知重力加速度為g．求：
（1）整個(gè)過程中滑塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間；
（2）整個(gè)過程中水平恒力F做的功；
（3）整個(gè)過程中摩擦力做的功．

Answer 1

分析 （1）在0∽t₀這段時(shí)間內(nèi)，由牛頓第二定律求解滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度，根據(jù)速度時(shí)間關(guān)系求解滑塊到達(dá)B處時(shí)的速度，在t₀∽2t₀這段時(shí)間內(nèi)，分析受力，確定運(yùn)動(dòng)情況，得到時(shí)間，2t₀之后過程中，滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律求解加速度，結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求解時(shí)間；
（2）在0∽t₀這段時(shí)間內(nèi)，求解滑塊的位移，根據(jù)功的定義求解水平拉力做功，求解t₀∽2t₀這段時(shí)間內(nèi)滑塊的位移，根據(jù)功的定義求解水平拉力做功，整個(gè)過程中水平恒力F做功為兩次做功之和；
（3）根據(jù)功的定義直接求解摩擦力做功．

解答 解：（1）在0∽t₀這段時(shí)間內(nèi)，滑塊在斜面AB上運(yùn)動(dòng)時(shí)，垂直斜面方向的力：
F_N+F₁sinθ-mgcosθ=0
解得：F_N=0
所以滑塊不受摩擦力，由牛頓第二定律，滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度：
a₁=$\frac{{F}_{1}cosθ+mgsinθ}{m}$=2g
滑塊到達(dá)B處時(shí)的速度：v_B=a₁t₀=2gt₀
在t₀∽2t₀這段時(shí)間內(nèi)，水平拉力${F}_{2}=\frac{1}{2}mg={F}_{f}=μmg$，所以滑塊做勻速直線運(yùn)動(dòng)，2t₀之后過程中，滑塊做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由牛頓第二定律，加速度：
${a}_{2}=μg=\frac{1}{2}g$
運(yùn)動(dòng)時(shí)間：$t=\frac{{v}_{B}}{{a}_{2}}=4{t}_{0}$
整個(gè)過程中滑塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間：t=2t₀+4t₀=6t₀
（2）在0∽t₀這段時(shí)間內(nèi)，滑塊的位移：${x}_{1}=\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{0}^{2}=g{t}_{0}^{2}$
水平拉力做功：${W}_{1}={F}_{1}{x}_{1}cosθ=\frac{3}{2}m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
在t₀∽2t₀這段時(shí)間內(nèi)，滑塊的位移：${x}_{2}={v}_{1}{t}_{0}=2g{t}_{0}^{2}$
水平拉力做功：${W}_{2}={F}_{2}{x}_{2}=m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
整個(gè)過程中水平恒力F做功：$W={W}_{1}+{W}_{2}=\frac{5}{2}m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
（3）2t₀之后過程中，滑塊的位移：${x}_{3}=\frac{{v}_{B}^{2}}{2{a}_{2}}=4g{t}_{0}^{2}$
滑塊在斜面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，沒有摩擦力，在水平面上運(yùn)動(dòng)時(shí)，摩擦力是恒力，所以，整個(gè)過程中，摩擦力做功：
${W}_{f}=-{F}_{f}（{x}_{2}+{x}_{3}）=3m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$
答：（1）整個(gè)過程中滑塊的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為6t₀；
（2）整個(gè)過程中水平恒力F做的功為$\frac{5}{2}m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$；
（3）整個(gè)過程中摩擦力做的功為$3m{g}^{2}{t}_{0}^{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查動(dòng)能定理、牛頓第二定律及運(yùn)動(dòng)學(xué)公式的綜合應(yīng)用，本題是多過程問題，按時(shí)間順序進(jìn)行分析受力情況，由牛頓第二定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式和動(dòng)能定理進(jìn)行解答．