Question

6．無(wú)人駕駛汽車(chē)是通過(guò)車(chē)載傳感系統(tǒng)感知道路環(huán)境，自動(dòng)規(guī)劃路線并控制車(chē)輛到達(dá)預(yù)定目標(biāo)的智能汽車(chē)．其有一項(xiàng)技術(shù)為車(chē)距保持技術(shù)，主要是利用車(chē)上的聲學(xué)或者光學(xué)儀器對(duì)兩車(chē)距離減小監(jiān)測(cè)，一旦兩車(chē)距離接近或低于設(shè)定值時(shí)，后車(chē)系統(tǒng)會(huì)自動(dòng)制動(dòng)或減小油門(mén)開(kāi)度，而前車(chē)可增大油門(mén)開(kāi)度的方式來(lái)保持兩車(chē)之間的車(chē)距，其模型可理想化如下：在光滑的水平軌道上有兩個(gè)半徑都是r的小球A和B，質(zhì)量都為m，當(dāng)兩球心間的距離大于l（比2r大得多）時(shí)，兩球之間無(wú)相互作用力，當(dāng)兩球心間的距離等于或小于l時(shí)，兩球間存在相互作用的恒定斥力F．設(shè)A球從遠(yuǎn)離B球處以兩倍于B球速度大小沿兩球連心線向B球運(yùn)動(dòng)，如圖所示，欲使兩球不發(fā)生接觸，A球速度v_A必須滿足什么條件？

Answer 1

分析 A球向B球接近至A、B間的距離小于L之后，A球的速度逐步減小，B球從靜止開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，兩球間的距離逐步減�。�當(dāng)A、B兩球的速度相等時(shí)，兩球間的距離最�。�若此距離大于2 r，則兩球就不會(huì)接觸．結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出${v}_{A}^{\;}$必須滿足的條件．

解答 解：A球向B球接近至A、B間的距離小于l之后，A球的速度逐步減小，B球從靜止開(kāi)始加速運(yùn)動(dòng)，兩球間的距離逐步減�。�當(dāng)A、B的速度相等時(shí)，兩球間的距離最�。�若此距離大于2r，則兩球就不會(huì)接觸．所以不接觸的條件是
v₁=v₂?…①?
l+s₂-s₁＞2r…②
其中v₁、v₂為當(dāng)兩球間距離最小時(shí)A、B兩球的速度；s₁、s₂為兩球間距離從l變至最小的過(guò)程中，A、B兩球通過(guò)的路程．
由牛頓定律得A球在減速運(yùn)動(dòng)而B(niǎo)球作加速運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中，A、B兩球的加速度大小為
?${a}_{1}^{\;}=\frac{F}{m}$            ${a}_{2}^{\;}=\frac{F}{m}$…③
設(shè)${v}_{A}^{\;}$為A球的初速度，由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式得：
${v}_{1}^{\;}={v}_{A}^{\;}-\frac{F}{m}t$                 ${v}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}+\frac{F}{m}t$…④

${s}_{1}^{\;}={v}_{A}^{\;}t-\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}_{\;}^{2}$            ${s}_{2}^{\;}=\frac{1}{2}{v}_{A}^{\;}t+\frac{1}{2}\frac{F}{m}{t}_{\;}^{2}$…⑤

聯(lián)立解得：${v}_{A}^{\;}＜4\sqrt{\frac{F（L-2r）}{m}}$…⑥
答：欲使兩球不發(fā)生接觸，A球速度v_A必須滿足條件${v}_{A}^{\;}＜4\sqrt{\frac{F（L-2r）}{m}}$

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵知道兩球速度相等時(shí)，有最短距離，結(jié)合牛頓第二定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式進(jìn)行求解．