Question

如圖所示，在0≤x≤a，0≤y≤2a范圍內(nèi)有垂直于xy平面向內(nèi)的勻強(qiáng)磁場，在a＜x≤2a，0≤y≤2a范圍內(nèi)有垂直于xy平面向外的勻強(qiáng)磁場，磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B．坐標(biāo)原點O處有一個粒子源，在某時刻發(fā)射大量質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電粒子，它們的速度大小相同，速度方向均在xy平面內(nèi)，與y軸正方向夾角分布在0-90°范圍內(nèi)，已知從（0，2a）處射出的帶電粒子在磁場中運(yùn)動的時間恰好為粒子在磁場中做圓周運(yùn)動周期的四分之一．不計粒子重力及粒子之間相互作用，求：
（1）粒子進(jìn)入磁場中的速度大��？
（2）沿x軸正方向入射的粒子和最后離開磁場的粒子在磁場中運(yùn)動的時間之差為多少？

Answer 1

分析：（1）由題意畫出能從（0，2a）處射出的粒子的軌跡圖，由幾何關(guān)系可得出運(yùn)動半徑，由半徑公式可求出粒子進(jìn)入磁場的速度大�。�
（2）根據(jù)邊界，畫出這兩種粒子的軌跡圖，利用幾何關(guān)系求出這兩種粒子在兩個區(qū)域的偏轉(zhuǎn)角，分別求出兩種粒子運(yùn)動的時間，即可求出時間差．

解答：解：
（1）根據(jù)題意可知，帶電粒子的運(yùn)動軌跡如圖一所示，
由幾何關(guān)系可知rcos

π

4

=a
得：r=

2

a
又因：qv0B=

mv2

r

聯(lián)立得：v0=

2 qBa

m

（2）由T=

2πr

v0

的粒子偏轉(zhuǎn)周期T=

2πm

qB

沿x軸正方向入射的粒子運(yùn)動軌跡如圖二中的圓弧1，可得：
rcosθ=a
故θ=

π

4

該粒子在磁場中運(yùn)動時間為t1=2×

1

8

T
由于粒子的偏轉(zhuǎn)半徑一定，故在磁場中運(yùn)動時間最長的帶電粒子軌跡所對應(yīng)的弦長最大，可知從P點射出的帶電粒子運(yùn)動時間最大．
如圖二中的弧線2可得2rsin

α

2

=

2

a，
得：α=

π

3

該粒子在磁場中運(yùn)動時間為：
t2=2×

1

6

T
所求時間間隔為：
△t=t₂-t₁
得：△t=

T

12

即△t=

πm

6q

．
答：（1）粒子進(jìn)入磁場中的速度大小為

2 qBa

m

；
    （2）沿x軸正方向入射的粒子和最后離開磁場的粒子在磁場中運(yùn)動的時間之差為

πm

6q

．

點評：該題考查了磁場邊界問題，不同磁場的分界面上，是一種運(yùn)動的結(jié)束，又是另一種運(yùn)動的開始，尋找相關(guān)物理量尤其重要．當(dāng)然本題還涉及臨界問題，尋找臨界點的有效方法有軌跡圓的縮放和軌跡圓的旋轉(zhuǎn)．
點粒子做勻速圓周運(yùn)動的圓心、半徑及運(yùn)動時間的確定也是本題的一個考查重點
圓心的確定：因洛倫茲力提供向心力，洛倫茲力總垂直于速度，畫出帶電粒子運(yùn)動軌跡中任意兩點（一般是射入磁場和射出磁場的兩點）洛倫茲力的方向，其延長的交點即為圓心．或射入磁場和射出磁場的兩點間弦的垂直平分線與一半徑的交點即為圓心．
半徑的確定：半徑一般都在確定圓心的基礎(chǔ)上用平面幾何知識求解，常常是解直角三角形．
運(yùn)動時間的確定：利用圓心與弦切角的關(guān)系計算出粒子所轉(zhuǎn)過的圓心角θ的大小，用公式t=

θ

360

T可求出運(yùn)動時間．
再者就是要正確畫出粒子運(yùn)動的軌跡圖，能熟練的運(yùn)用幾何知識解決物理問題．