Question

4．如圖甲所示，水平足夠長的光滑平行金屬導軌MN、PQ間距L=0.3m，導軌電阻忽略不計，與水平面夾角為37°，其間連接有阻值R=0.8Ω的固定電阻，開始時，導軌上固定著一質量為m=0.01kg，電阻r=0.4Ω的金屬桿ab，整個裝置處于斜面磁感應強度B=0.5T的勻強磁場中，磁場方向垂直導軌面向上，現用一平行金屬導軌面的外力F向上拉金屬桿ab，使之由靜止開始運動，把通過電壓表采集器的電壓U即時采集并輸入電腦，獲得電壓U隨時間t變化的關系，如圖乙所示，求：
（1）金屬桿0.8s內通過的位移；
（2）0.8s末拉力F的瞬時功率；
（3）0.8s捏R上產生的熱量是0.006J，則外力F做的功是多少？

Answer 1

分析 （1）由導體棒切割磁感線產生感應電動勢公式求出感應電動勢，由閉合電路的歐姆定律求出電路電流，由圖象求出3s末電路電壓值，然后求出金屬棒的加速度，再由運動學公式求出其位移．
（2）由安培力公式求出安培力，由牛頓第二定律求出3s末的拉力，然后由功率公式P=Fv求出拉力的瞬時功率．
（3）根據功能關系求解拉力做的功．

解答 借：（1）由圖象可知U-t圖象的斜率k=$\frac{0.6}{3}=0.2$（V/s），所以有：U=kt=0.2t
金屬桿切割磁感線運動此時的感應電動勢大小為E=BLv
由電路分析電壓表讀數是電阻R兩端的電壓，故$U=\frac{R}{R+r}E$
聯立解得$v=0.2×\frac{R+r}{BLR}t$
由于R、r、B及L均為常數，所以v與t成正比，即金屬桿沿斜面向上做初速度為零的勻加速直線運動
勻加速運動的加速度為$a=\frac{R+r}{BLR}×0.2=2.0m/{s}^{2}$
金屬桿在0.8s內的位移$x=\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×2×0．{8}^{2}=0.64m$；
（2）在第0.8s末的速度v=at=1.6m/s
桿受安培力${F}_{安}=BIL=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}=\frac{0.25×0.09×0.8}{1.2}N$=0.015N
由牛頓第二定律，對桿有F-F_安-mg•sin37°=ma
解得F=9.5×10^-2N，故0.8s末拉力的功率為P=Fv=0.152W；
（3）由于0.8s內的位移：x=$\frac{1}{2}a{t}^{2}=\frac{1}{2}×2×0.64m$=0.64m
由功能關系可得${W_F}=\frac{1}{2}m{v^2}+mgxsin37°+{Q_總}$
由于0.8s內R上產生的熱量是Q=0.006J，則回路中總的熱量是${Q_總}=\frac{R+r}{R}Q$=0.009J
聯立解得${W}_{F}=6.02×1{0}^{-2}J$．
答：（1）金屬桿0.8s內通過的位移為0.64m；
（2）0.8s末拉力F的瞬時功率為0.152W；
（3）0.8s捏R上產生的熱量是0.006J，則外力F做的功是6.02×10^-2J．

點評 本題是一道電磁感應與電路、運動學相結合的綜合題，分析清楚棒的運動過程、由圖象找出某時刻所對應的電流、應用相關知識，是正確解題的關鍵．