Question

11．在如圖所示的豎直平面內，水平軌道CD和傾斜軌道GH與半徑r=$\frac{9}{44}$m的光滑圓弧軌道分別相切于D點和G點，GH與水平面的夾角θ=37°．過G點、垂直于紙面的豎直平面左側有勻強磁場，磁場方向垂直于紙面向里，磁感應強度B=1.25T；過D點、垂直于紙面的豎直平面右側有勻強電場，電場方向水平向右，電場強度E=1×10⁴N/C．小物體P₁質量m=2×10^-3 kg、電荷量q=+8×10^-6 C，受到水平向右的推力F=9.98×10^-3N的作用，沿CD向右做勻速直線運動，到達D點后撤去推力．當P₁到達傾斜軌道底端G點時，不帶電的小物體P₂在GH頂端靜止釋放，經過時間t=0.1s與P₁相遇．P₁與P₂與軌道CD、GH間的動摩擦因數均為μ=0.5，g取10m/s²，sin 37°=0.6，cos 37°=0.8，物體電荷量保持不變，不計空氣阻力．求：

（1）小物體P₁在水平軌道CD上運動速度v的大�。�
（2）傾斜軌道GH的長度s．

Answer 1

分析 （1）P₁運動到D點的過程中，對小物體進行正確的受力分析，在水平方向上利用二力平衡可求得小物體P₁在水平軌道CD上運動速度v的大�。�
（2）P₁從D點到傾斜軌道底端G點的過程中，電場力和重力做功；P₁在GH上運動過程中，受重力、電場力和摩擦力作用；P₂在GH上運動過程中，受重力和摩擦力作用；對于各物體在各段的運動利用牛頓第二定律和能量的轉化與守恒，列式即可解得軌道GH的長度．

解答 解：（1）設小物體P₁在勻強磁場中運動速度為v，受到向上的洛倫茲力為F₁，受到的摩擦力為f，則F=f=μ（mg-F₁） 
根據洛倫茲力的計算公式可得：F₁=qvB，
代入數據解得：v=4 m/s；
（2）設P₁在G點的速度大小為v_G，由于洛倫茲力不做功，根據動能定理：
qErsin θ-mgr（1-cos θ）=$\frac{1}{2}$mv_G²-$\frac{1}{2}$mv²   
P₁在GH上運動，受到重力、電場力和摩擦力的作用，設加速度為a₁，根據牛頓第二定律：
qEcos θ-mgsin θ-μ（mgcos θ+qEsin θ）=ma₁                  
設P₁在GH上運動的距離為s₁，則：s₁=v_Gt+$\frac{1}{2}$a₁t²            
設P₂質量為m₂，在GH上運動的加速度為a₂，則
m₂gsin θ-μm₂gcos θ=m₂a₂                                    
設P₂在GH上運動的距離為s₂，則s₂=$\frac{1}{2}$a₂t²
兩物體相遇時有：s=s₁+s₂
解得 s=0.56m．
答：（1）小物體P₁在水平軌道CD上運動速度v的大小為4m/s；
（2）傾斜軌道GH的長度為0.56m．

點評 解答該題的關鍵是對這兩個物體運動進行分段分析，分析清晰受力情況和各自的運功規(guī)律，利用運動定律和能量的轉化與守恒定律進行解答；這是一個復合場的問題，要注意對場力的分析，了解洛倫茲力的特點，洛倫茲力不做功；知道電場力做功的特點，解答該題要細心，尤其是在數值計算上，是一道非常好的題．