Question

6．如圖所示，光滑且足夠長(zhǎng)的平行金屬導(dǎo)軌MN和PQ固定在同一水平面上，兩導(dǎo)軌間距離L=0.2m，電阻R₁=0.4Ω，導(dǎo)軌上靜止放置一質(zhì)量m=0.1kg，電阻R₂=0.1Ω的金屬桿ab，導(dǎo)軌電阻忽略不計(jì)，整個(gè)裝置處在磁感應(yīng)強(qiáng)度B₁=0.5T的勻強(qiáng)磁場(chǎng)中，磁場(chǎng)的方向豎直向下，現(xiàn)用一外力F沿水平方向拉桿ab，使之由靜止開始運(yùn)動(dòng)，最終以8m/s的速度做勻速直線運(yùn)動(dòng)．若此時(shí)閉合開關(guān)S，釋放的α粒子經(jīng)加速電場(chǎng)C加速?gòu)膁孔對(duì)著圓心O進(jìn)入半徑r=$\sqrt{3}m$的固定圓筒中（筒壁上的小孔d只能容一個(gè)粒子通過），圓筒內(nèi)有垂直水平面向下的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₂的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，α粒子每次與筒壁發(fā)生碰撞均無電荷遷移，也無機(jī)械能損失．（α粒子質(zhì)量m≈6.4×10^-27kg，電荷量q=3.2×10^-19C）．求：
（1）ab桿做勻速直線運(yùn)動(dòng)過程中，外力F的功率；
（2）若α粒子與圓筒壁碰撞5次后恰又從d孔背離圓心射出，忽略α粒子進(jìn)入加速電場(chǎng)的初速度，求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂．

Answer 1

分析 （1）ab桿做勻速直線運(yùn)動(dòng)過程中，外力F與安培力二力平衡，推導(dǎo)出安培力表達(dá)式，即可求得外力的大小，由P=Fv求出功率．
（2）根據(jù)歐姆定律求出加速電場(chǎng)的電壓，由動(dòng)能定理求出α粒子進(jìn)入磁場(chǎng)的速度．若α粒子與圓筒壁碰撞5次后恰又從a孔背離圓心射出，則粒子與圓筒的碰撞點(diǎn)和a點(diǎn)將圓筒6等分，根據(jù)幾何關(guān)系求出軌跡半徑，由牛頓第二定律求磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂．

解答 解：（1）當(dāng)ab桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)，F(xiàn)_外=F_B   ①
F_B=B₁IL   ②
I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$③
E=B₁L v     ④
P=F_外v       ⑤
聯(lián)立①～⑤得P=$\frac{{B}_{1}^{2}{L}^{2}{v}^{2}}{{R}_{1}+{R}_{2}}$ ⑥
將已知條件代入上式得P=1.28W
（2）此時(shí)回路電流強(qiáng)度為 I=$\frac{E}{{R}_{1}+{R}_{2}}$
加速電場(chǎng)的電壓為 U=IR₁ 
根據(jù)動(dòng)能定理：q_αU=$\frac{1}{2}$m_αv²-0
α粒子從a孔進(jìn)入磁場(chǎng)的速度 v=$\sqrt{\frac{2{q}_{α}U}{{m}_{α}}}$
由題意知：α粒子與圓筒壁碰撞5次后從a孔離開磁場(chǎng)，
由幾何關(guān)系求得∠d O b=60°
軌跡半徑R'=$\frac{\sqrt{3}}{3}$r=1.0 m
又 qαvB₂=m_α $\frac{{v}^{2}}{R′}$
解得：B₂=1.6×10^-4 T
答：
（1）ab桿做勻速直線運(yùn)動(dòng)過程中，外力F的功率為1.28W；
（2）磁感應(yīng)強(qiáng)度B₂為1.6×10^-4T．

點(diǎn)評(píng) 本題中金屬桿的運(yùn)動(dòng)與汽車恒定功率起動(dòng)類似，要會(huì)用動(dòng)力學(xué)方法分析桿的運(yùn)動(dòng)情況．對(duì)于第2問，還可以研究帶電粒子與圓筒碰撞n次的情況．