Question

如圖甲所示，真空中的電極K連續(xù)不斷地發(fā)出電子（電子的初速度可忽略不計(jì)），經(jīng)電壓為u的電場(chǎng)加速，加速電壓u隨時(shí)間t變化的圖象如圖乙所示．每個(gè)電子通過(guò)加速電場(chǎng)的過(guò)程時(shí)間極短，可認(rèn)為加速電壓不變．電子被加速后由小孔S穿出，沿兩個(gè)彼此靠近且正對(duì)的水平金屬板A、B間中軸線從左邊緣射入A、B兩板間的偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)，A、B兩板長(zhǎng)均為L(zhǎng)=0.20m，兩板之間距離d=0.050m，A板的電勢(shì)比B板的電勢(shì)高．A、B板右側(cè)邊緣到豎直放置的熒光屏P（面積足夠大）之間的距離b=0.10m．熒光屏的中心點(diǎn)O與A、B板的中心軸線在同一水平直線上．不計(jì)電子之間的相互作用力及其所受的重力，求：
（1）要使電子都打不到熒光屏上，則A、B兩板間所加電壓U應(yīng)滿足什么條件；
（2）當(dāng)A、B板間所加電壓U'=50V時(shí)，電子打在熒光屏上距離中心點(diǎn)O多遠(yuǎn)的范圍內(nèi)．

Answer 1

電子加速過(guò)程中，根據(jù)動(dòng)能定理有：
eU₁=

1

2

mv²
偏轉(zhuǎn)過(guò)程中，由牛頓第二定律有：eE=ma
而 E=

U2

d

，L=vt，y=

1

2

at²
有 y=

1

2

?

eU2

md

?（

L

v

）²=

U2L2

4U1d

要使電子都打不到屏上，應(yīng)滿足U₁取最大值800V時(shí)仍有y＞0.5d
代入上式可得，U₂=

4U1dy

L2

＞

4U1d?0.5d

L2

=

4×800×0.5×0.052

0．22

V=100V
所以為使電子都打不到屏上，A、B兩板間所加電壓U₂至少為100V．
（2）當(dāng)A、B板間所加電壓U′=50V時(shí)，代入
當(dāng)電子恰好從A板右邊緣射出偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)時(shí)，
其側(cè)移最大y_max=

1

2

d=

1

2

×0.05m=0.025m．
設(shè)電子通過(guò)電場(chǎng)最大的偏轉(zhuǎn)角為θ，設(shè)電子打在屏上距中心點(diǎn)的最大距離為Y_max，則：
tanθ=

vy

v2

=

at

v

Y_max=y_max+

b

v

v_y=y_max+

bvyt

vt

又y_max=

0+vy

2

t，vt=L
得v_yt=2y_max，聯(lián)立得Y_max=y_max+

2b

L

y_max=0.025+

2×0.1

0.2

×0.025=0.05m
由第（1）問(wèn)中的y=

U2L2

4U1d

可知，在其它條件不變的情況下，U₁越大y越小，
所以當(dāng)U₁=800V時(shí)，電子通過(guò)偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)的側(cè)移量最小，
其最小側(cè)移量，y_min=

U2L2

4U1d

=

U′L2

4U1d

=

50×0．22

4×800×0.05

m=0.0125m
同理，電子打在屏上距中心的最小距離 Y_min=y_min+

2b

L

y_min=0.0125+

2×0.1

0.2

×0.125=0.025m
所以電子打在屏上距中心點(diǎn)O在0.025m～0.05m范圍內(nèi)．
答：
（l）要使電子都打不到熒光屏上，則A，B兩板間所加電壓U應(yīng)滿足至少為100V條件；
（2）當(dāng)A、B板間所加電U′=50V時(shí)，打到熒光屏上的電子距離中心點(diǎn)O在0.025m～0.05m的范圍內(nèi)．