Question

14．在豎直的xOy平面內(nèi)，第I、III象限均存在相互正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，第一象限內(nèi)電場(chǎng)沿+y方向，磁場(chǎng)垂直xOy平面向外，第三象限內(nèi)電場(chǎng)沿-x方向，磁場(chǎng)垂直xOy平面向里，電場(chǎng)強(qiáng)度大小均為E，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小均為B，A、B兩小球帶等量異種電荷，帶電量大小均為q，兩球中間夾一被壓縮的長(zhǎng)度不計(jì)的絕緣輕彈簧（不粘連），某時(shí)刻在原點(diǎn)O處同時(shí)釋放AB，AB瞬間被彈開(kāi)之后，A沿圓弧OM運(yùn)動(dòng)，B沿直線OP運(yùn)動(dòng)，OP與-x軸夾角θ=37°，如圖中虛線所示，不計(jì)兩球間庫(kù)侖力的影響，已知重力加速度為g，sin37°=0.6，cos37°=0.8，試求：
（1）A、B兩球的質(zhì)量比$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$；
（2）A球出射點(diǎn)M離O點(diǎn)的距離；
（3）剛釋放時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_p．

Answer 1

分析 本題把兩個(gè)帶電小球彈出后分別在兩種復(fù)合場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況，但兩個(gè)小球的運(yùn)動(dòng)涉及的都是特殊情況，A球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，顯然重力與電場(chǎng)力平衡抵消，所以A帶正電；而B(niǎo)球受三個(gè)力，做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，于是判斷B球只能帶負(fù)電，所以由平衡條件寫(xiě)出相應(yīng)的關(guān)系式，就能求出質(zhì)量之比、A球射出到x軸的距離、及彈簧的彈性勢(shì)能．但列出的方程比較多，要根據(jù)具體要求，消除未知量，用題設(shè)的已知條件表示．

解答 解：（1）A小球在第Ⅰ象限做圓弧運(yùn)動(dòng)，則A帶正電，且有：m_Ag=Eq     $q{v}_{A}B=m\frac{{{v}_{A}}^{2}}{R}$
  B小球在第四象限做勻速直線運(yùn)動(dòng)，受三個(gè)力平衡：m_Bgtan37°=Eq        $Bq{v}_{B}=\frac{{m}_{B}g}{cos37°}=\frac{Eq}{sin37°}$
  AB被彈簧彈出的前后動(dòng)量守恒：m_Av_A=m_Bv_B
  聯(lián)立以上幾式可得：$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$=$\frac{3}{4}$    R=$\frac{20{E}^{2}}{9{B}^{2}g}$ 
（2）由幾何關(guān)系可得：A球出射點(diǎn)M離O點(diǎn)的距離x_OM=2Rsin37°=$\frac{8{E}^{2}}{3{B}^{2}g}$
（3）由（1）問(wèn)的幾式可求得：v_A=$\frac{20E}{9B}$    v_B=$\frac{5E}{3B}$
彈開(kāi)的瞬間由能量守恒得：Ep=$\frac{1}{2}{m}_{A}{{v}_{A}}^{2}+\frac{1}{2}{m}_{B}{{v}_{B}}^{2}$=$\frac{350{E}^{3}q}{81{B}^{2}g}$
答：（1）A、B兩球的質(zhì)量比$\frac{{m}_{A}}{{m}_{B}}$為$\frac{3}{4}$．
（2）A球出射點(diǎn)M離O點(diǎn)的距離為$\frac{8{E}^{2}}{3{B}^{2}g}$．
（3）剛釋放時(shí)，彈簧的彈性勢(shì)能E_p為$\frac{350{E}^{3}q}{81{B}^{2}g}$．

點(diǎn)評(píng) 質(zhì)量之比，可以用重力與電場(chǎng)力的關(guān)系表示出來(lái)，從而求出質(zhì)量之比，由B球的勻速直線運(yùn)動(dòng)求出B球的速度，再由動(dòng)量守恒定律求出A球的速度，從而表示出A球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑，于是求出OM之間的距離，由能量守恒再求出彈簧的彈性勢(shì)能．