Question

11．如圖所示，在θ=60°的范圍內(nèi)有一方向垂直于xOy平面向外、磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，y軸與OC為該磁場(chǎng)的兩邊界；一質(zhì)量為m、電荷量為q的帶正電的粒子（不計(jì)重力）從y軸的點(diǎn)A（0，L）平行與x軸正方向射入磁場(chǎng)中；
（1）若粒子離開磁場(chǎng)后垂直經(jīng)過x軸，求粒子的初速度大小v₁及其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間t₁；
（2）要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，其初速度大小v₂應(yīng)滿足什么條件？在這種情況下，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t₂為多長(zhǎng)？
（3）若從A點(diǎn)入射的大量同種粒子，均在xoy平面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，粒子的入射方向與y軸負(fù)方向的夾角為α（0≤α≤90°），為使粒子從OC邊離開磁場(chǎng)時(shí)的速度方向均與z軸垂直，粒子的入射速度大小v₀與α之間應(yīng)滿足怎樣的關(guān)系式？

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，再與幾何關(guān)系聯(lián)立即可，根據(jù)周期公式結(jié)合粒子轉(zhuǎn)過的圓心角即可求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間；
（2）找到粒子時(shí)間最長(zhǎng)的條件，運(yùn)用周期公式即可求出粒子運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，結(jié)合臨界幾何關(guān)系即：軌跡與OC相切，粒子速度v₂只要比此時(shí)的速度小即可；
（3）任選其中某一粒子，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)用洛倫茲力提供向心力求出半徑公式，再與幾何關(guān)系聯(lián)立即可，

解答 解：（1）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)了四分之一圓周后離開磁場(chǎng)，將會(huì)垂直經(jīng)過x軸，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖甲所示．

設(shè)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R₁，有：
qv₁B=m$\frac{{v}_{1}^{2}}{{R}_{1}}$
由幾何關(guān)系有：R₁+$\frac{{R}_{1}}{tanθ}$=L
解得：v₁=$\frac{3qBL}{（3+\sqrt{3）}m}$
由T=$\frac{2π{R}_{1}}{{v}_{1}}$可得粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的周期為：
T=$\frac{2πm}{qB}$
粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為：t₁=$\frac{1}{4}$T=$\frac{πm}{2qB}$．
（2）經(jīng)分析可知，當(dāng)粒子的偏轉(zhuǎn)角為180°時(shí)，它在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)
最長(zhǎng)的時(shí)間為：t₂=$\frac{1}{2}$T=$\frac{πm}{qB}$
此種情形當(dāng)粒子的運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與邊界OC相切時(shí)，粒子的速度最大（設(shè)最大速度為v），如圖乙所示，

設(shè)此時(shí)粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的半徑為R₂，有：
qvB=m$\frac{{v}^{2}}{{R}_{2}}$
由幾何關(guān)系有：R₂+$\frac{{R}_{2}}{sinθ}$=L
解得：v=$\frac{3qBL}{（3+2\sqrt{3）}m}$
v₂應(yīng)滿足的條件為：0＜v₂≤$\frac{3qBL}{（3+2\sqrt{3）}m}$．
（3）經(jīng)分析，可畫出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖丙所示，

設(shè)軌跡圓的半徑為R₃，
因?yàn)榱Ｗ拥娜肷浞较蚺cy軸負(fù)方向的夾角為α，顯然∠AO'E=α，
根據(jù)幾何關(guān)系可得：R₃sinα+$\frac{{R}_{3}（1-cosα）}{tanθ}$=L
又：qv₀B=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{{R}_{3}}$
解得：[3sinα+$\sqrt{3}$（1-cosα）]v₀=$\frac{3qBL}{m}$．
答：（1）若粒子離開磁場(chǎng)后垂直經(jīng)過x軸，粒子的初速度大小為$\frac{3qBL}{（3+\sqrt{3）}m}$，其在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為$\frac{πm}{2qB}$；
（2）要使粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間最長(zhǎng)，其初速度大小v₂應(yīng)滿足0＜v₂≤$\frac{3qBL}{（3+2\sqrt{3）}m}$，在這種情況下，粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最長(zhǎng)時(shí)間t₂為$\frac{πm}{qB}$；
（3）為使粒子從OC邊離開磁場(chǎng)時(shí)的速度方向均與z軸垂直，粒子的入射速度大小v₀與α之間應(yīng)滿足[3sinα+$\sqrt{3}$（1-cosα）]v₀=$\frac{3qBL}{m}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中的運(yùn)動(dòng)，粒子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力，作出粒子運(yùn)動(dòng)軌跡、應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)、周期公式即可正確解題；第三問這類求關(guān)系的問題，可以把其中一個(gè)量當(dāng)成已知去表示另一個(gè)量即可．