Question

兩塊足夠大的平行金屬極板水平放置，極板間加有空間分布均勻、大小隨時(shí)間周期性變化的電場(chǎng)和磁場(chǎng)，變化規(guī)律分別如圖1、圖2所示（規(guī)定垂直紙面向里為磁感應(yīng)強(qiáng)度的正方向）。在t=0時(shí)刻由負(fù)極板釋放一個(gè)初速度為零的帶負(fù)電的粒子（不計(jì)重力）。若電場(chǎng)強(qiáng)度E₀、磁感應(yīng)強(qiáng)度B₀、粒子的比荷均已知，且，兩板間距。

（1）求粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值。

（2）求粒子在板板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑（用h表示）。

（3）若板間電場(chǎng)強(qiáng)度E隨時(shí)間的變化仍如圖1所示，磁場(chǎng)的變化改為如圖3所示，試畫(huà)出粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖（不必寫(xiě)計(jì)算過(guò)程）。

Answer 1

解析:

解法一：（1）設(shè)粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)的位移大小為s₁

                                                   ①

                                        ②

又已知

聯(lián)立①②式解得

                                           ③

（2）粒子在t₀~2t₀時(shí)間內(nèi)只受洛倫茲力作用，且速度與磁場(chǎng)方向垂直，所以粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)。設(shè)運(yùn)動(dòng)速度大小為v₁，軌道半徑為R₁，周期為T，則

                                          ④

                                 ⑤

聯(lián)立④⑤式得

                                         ⑥

又                                    ⑦

即粒子在t₀~2t₀時(shí)間內(nèi)恰好完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)。在2t₀~3t₀時(shí)間內(nèi)，粒子做初速度為v₁的勻加速直線運(yùn)動(dòng)，設(shè)位移大小為s₂

                             ⑧

解得                               ⑨

由于s₁+s₂＜h,所以粒子在3t₀~4t₀時(shí)間內(nèi)繼續(xù)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，設(shè)速度大小為v₂，半徑為R₂

                                   ⑩

                                 11

解得                              12

由于s₁+s₂+R₂＜h,粒子恰好又完成一個(gè)周期的圓周運(yùn)動(dòng)。在4t₀~5t₀時(shí)間內(nèi)，粒子運(yùn)動(dòng)到正極板（如圖1所示）。因此粒子運(yùn)動(dòng)的最大半徑。

（3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖2所示。

解法二：由題意可知，電磁場(chǎng)的周期為2t₀，前半周期粒子受電場(chǎng)作用做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，加速度大小為

                方向向上

        后半周期粒子受磁場(chǎng)作用做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，周期為T

       

        粒子恰好完成一次勻速圓周運(yùn)動(dòng)。至第n個(gè)周期末，粒子位移大小為s_n

       

        又已知 

        由以上各式得      

        粒子速度大小為    

       粒子做圓周運(yùn)動(dòng)的半徑為     

       解得      

       顯然       

      （1）粒子在0～t₀時(shí)間內(nèi)的位移大小與極板間距h的比值  

      （2）粒子在極板間做圓周運(yùn)動(dòng)的最大半徑  

      （3）粒子在板間運(yùn)動(dòng)的軌跡圖見(jiàn)解法一中的圖2。