Question

4．如圖1所示，兩物塊A、B套在水平粗糙的CD桿上，并用不可伸長的輕繩連接，整個裝置能繞過CD中點的軸OO₁轉動，已知兩物塊質量相等均為m，桿CD對物塊A、B的最大靜摩擦力大小相等且動摩擦系數(shù)為μ．開始時繩子處于自然長度（繩子恰好伸直但無彈力），物塊B到OO₁軸的距離為2L，物塊A到OO₁軸的距離為L，現(xiàn)讓該裝置從靜止開始轉動，使轉速逐漸增大，求：
（1）當B的摩擦力達到最大值的時候，角速度是多少？
（2）當A的摩擦力為0的是時候，角速度是多少？
（3）當AB即將滑動的時候，角速度是多少？
（4）裝置可以以不同的角速度勻速轉動，試通過計算在圖2坐標圖中畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關系圖象．
（5）當AB即將滑動時，若把繩剪斷，請判斷A和B是否還能與桿保持相對靜止．

Answer 1

分析 （1）先分析AB兩物體誰先能達到最大靜摩擦力，并以此物體為研究對象，進行受力分析，結合牛頓第二定律即可得知此時的角速度
（2）對AB分別利用牛頓第二定律列式，聯(lián)立可得知當A的摩擦力為0的是時候的角速度
（3）當AB即將滑動的時候，分別對AB進行受力分析，AB分別利用牛頓第二定律列式，聯(lián)立可得知此時的角速度
（4）結合前三問的解答，可畫出A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關系圖象
（5）結合（3）的解答，先計算出此時AB兩物體的向心力，當繩子剪斷后，結合此時桿對AB能提供的最大靜摩擦，可得知A和B是否還能與桿保持相對靜止

解答 解：（1）開始時，繩子的拉力為零，由于B的轉動半徑大于A的轉動半徑，故B需要的向心力大于A（AB兩物體質量均為m），故B先達到最大靜摩擦力，根據(jù)牛頓第二定律可知：
μmg=mω₁²•2L，
解得：ω₁=$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$
（2）根據(jù)牛頓第二定律，
對A有：T=mω₂²L
對B有：T+μmg=mω₂²•2L
聯(lián)立解得：ω₂=$\sqrt{\frac{μg}{L}}$
（3）當角速度增大時，AB即將滑動時（B沿半徑向外滑動，A沿半徑向里滑動），此時A受到的摩擦力為μmg，方向沿半徑向外，則對A有：
T′-μmg=m${ω}_{3}^{2}$L
此時B受到的摩擦力為μmg，方向沿半徑向里，對B有：
T′+μmg=m${ω}_{3}^{2}$•2L
聯(lián)立以上兩式得：ω₃=$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$
T′=3μmg
（4）通過以上計算，可知當角速度為$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$時，B達到了就大靜摩擦力，為μmg，方向指向轉軸，此時A的摩擦力為$\frac{μmg}{2}$，方向指向轉軸；
當角速度為$\sqrt{\frac{μg}{L}}$時，B的靜摩擦力為μmg，方向指向轉軸，此時A的摩擦力為0；
當角速度為$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$時，B的靜摩擦力為μmg，方向指向轉軸，此時A的摩擦力大小為μmg，方向背向轉軸；
A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關系圖象如右圖所示
（5）有第（3）可知，當AB都將要滑動時，繩子的拉力為T′=3μmg
此時A的向心力為：f_A向=T′-μmg=2μmg
此時B的向心力為：f_B向=T′+μmg=4μmg
若把繩子剪斷，桿對AB能產生的最大摩擦力為μmg，所以AB均不能與桿保持靜止．
答：（1）當B的摩擦力達到最大值的時候，角速度是$\sqrt{\frac{μg}{2L}}$
（2）當A的摩擦力為0的是時候，角速度是$\sqrt{\frac{μg}{L}}$
（3）當AB即將滑動的時候，角速度是$\sqrt{\frac{2μg}{L}}$
（4）裝置可以以不同的角速度勻速轉動，A和B的摩擦力隨角速度的平方變化的關系圖象如圖所示．
（5）當AB即將滑動時，若把繩剪斷，A和B均不能與桿保持相對靜止

點評 向心力是從力的作用效果來命名的，因為它產生指向圓心的加速度，所以稱它為向心力．它不是具有確定性質的某種類型的力．相反，任何性質的力都可以作為向心力．實際上它可是某種性質的一個力，或某個力的分力，還可以是幾個不同性質的力沿著半徑指向圓心的合外力．
同時要熟練的掌握向心力的表達式：F_向=ma=m$\frac{{v}^{2}}{R}$=mω²R=m$\frac{4{π}^{2}}{{T}^{2}}$R=4mπ²f²R=mω²v=4π²mn²R
其中：v為線速度，單位m/s，ω為角速度，單位rad/s，m為物體質量，單位kg，r為物體的運動半徑，單位m，T為圓周運動周期，單位s，f為圓周運動頻率，單位Hz，n為圓周運動轉速（即頻率），單位r/s．