Question

如圖所示，兩根金屬平行導(dǎo)軌MN和PQ放在水平面上，左端向上彎曲且光滑，導(dǎo)軌間距為L(zhǎng)，電阻不計(jì)．水平段導(dǎo)軌所處空間有兩個(gè)有界勻強(qiáng)磁場(chǎng)，相距一段距離不重疊，磁場(chǎng)Ⅰ左邊界在水平段導(dǎo)軌的最左端，磁感強(qiáng)度大小為B，方向豎直向上；磁場(chǎng)Ⅱ的磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為2B，方向豎直向下．質(zhì)量均為m、電阻均為R的金屬棒a和b垂直導(dǎo)軌放置在其上，金屬棒b置于磁場(chǎng)Ⅱ的右邊界CD處．現(xiàn)將金屬棒a從彎曲導(dǎo)軌上某一高處由靜止釋放，使其沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)．設(shè)兩金屬棒運(yùn)動(dòng)過程中始終與導(dǎo)軌垂直且接觸良好．

（1）若水平段導(dǎo)軌粗糙，兩金屬棒與水平段導(dǎo)軌間的最大摩擦力均為

1

5

mg，將金屬棒a從距水平面高度h處由靜止釋放．求：?金屬棒a剛進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)，通過金屬棒b的電流大�。�?若金屬棒a在磁場(chǎng)Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中，金屬棒b能在導(dǎo)軌上保持靜止，通過計(jì)算分析金屬棒a釋放時(shí)的高度h應(yīng)滿足的條件；
（2）若水平段導(dǎo)軌是光滑的，將金屬棒a仍從高度h處由靜止釋放，使其進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ．設(shè)兩磁場(chǎng)區(qū)域足夠大，求金屬棒a在磁場(chǎng)Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中，金屬棒b中可能產(chǎn)生焦耳熱的最大值．

Answer 1

（1）①金屬棒在彎曲光滑導(dǎo)軌上運(yùn)動(dòng)的過程中，機(jī)械能守恒，設(shè)其剛進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)速度為v₀，產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為E，電路中的電流為I．　　
由機(jī)械能守恒mgh=

1

2

m

v

20

，解得v₀=

2gh

　　感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)E=BLv₀，對(duì)回路有：I=

E

2R

　　解得：I=

BL 2gh

2R

　�、趯�(duì)金屬棒b：所受安培力F=2BIL
　　又因 I=

BL 2gh

2R

　　
金屬棒b棒保持靜止的條件為F≤

1

5

mg
　　解得 h≤

gm2R2

50B4L4

　�。�2）金屬棒a在磁場(chǎng)Ⅰ中減速運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸減小，金屬棒b在磁場(chǎng)Ⅱ中加速運(yùn)動(dòng)，感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)逐漸增加，當(dāng)兩者相等時(shí)，回路中感應(yīng)電流為0，此后金屬棒a、b都做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)金屬棒a、b最終的速度大小分別為v₁、v₂，整個(gè)過程中安培力對(duì)金屬棒a、b的沖量大小分別為I_a、I_b．
　　由BLv₁=2BLv₂，解得v₁=2v₂
　　設(shè)向右為正方向：
對(duì)金屬棒a，由動(dòng)量定理有-I_a=mv₁-mv₀
　　 對(duì)金屬棒b，由動(dòng)量定理有-I_b=-mv₂-0
　　由于金屬棒a、b在運(yùn)動(dòng)過程中電流始終相等，則金屬棒a受到的安培力始終為金屬棒b受到安培力的2倍，因此有兩金屬棒受到的沖量的大小關(guān)系　I_b=2I_a
　　解得v₁=

4

5

v0，v₂=

2

5

v0
　　根據(jù)能量守恒，回路中產(chǎn)生的焦耳熱Q=

1

2

m

v

20

-

1

2

[

1

2

m(

2

5

v0)2+

1

2

m(

4

5

v0)2]=

1

10

m

v

20

=

1

5

mgh
　　Q_b=

1

10

mgh
答：（1）金屬棒a剛進(jìn)入磁場(chǎng)Ⅰ時(shí)，通過金屬棒b的電流大小是

BL 2gh

2R

；?若金屬棒a在磁場(chǎng)Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中，金屬棒b能在導(dǎo)軌上保持靜止，金屬棒a釋放時(shí)的高度h應(yīng)滿足的條件是h≤

gm2R2

50B4L4

；
（2）金屬棒a在磁場(chǎng)Ⅰ內(nèi)運(yùn)動(dòng)過程中，金屬棒b中可能產(chǎn)生焦耳熱的最大值是

1

10

mgh．