Question

1．如圖所示，A、B兩板間電勢(shì)差為U₁=400V，C、D兩板長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m，兩板間電勢(shì)差為U₂=200V，OO′為C、D兩板間的中間線．在O處有一電荷量為q=1×10^-6C、質(zhì)量為m=2×10^-8 kg的帶電粒子，經(jīng)A、B間電場(chǎng)加速又經(jīng)C、D間電場(chǎng)偏轉(zhuǎn)后，恰好能從極板右邊緣射出，同時(shí)進(jìn)入一個(gè)垂直紙面向里的勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B=1T．帶電粒子能夠垂直打到磁場(chǎng)的右邊界處的光屏PQ上．若不考慮空氣阻力和粒子重力的影響，求：
（1）C、D兩板間的距離d是多少？
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度s是多少？
（3）若改變磁感強(qiáng)度B的大小，欲使該帶電粒子打不到光屏PQ上，則B的大小滿足什么條件？

Answer 1

分析 （1）利用動(dòng)能定理求得經(jīng)過(guò)AB得到的速度，應(yīng)用類平拋模型求解偏轉(zhuǎn)距離，進(jìn)而得到CD板間距離；
（2）由進(jìn)入磁場(chǎng)和離開此場(chǎng)的角度，即勻速圓周運(yùn)動(dòng)的速度及向心力的關(guān)系，求得圓周運(yùn)動(dòng)半徑，再由幾何關(guān)系得到磁場(chǎng)寬度；
（3）先求出臨界條件，在對(duì)臨界條件劃分的區(qū)域進(jìn)行討論即可得到滿足條件．

解答 解：（1）電荷量為q=1×10^-6C、質(zhì)量為m=2×10^-8 kg的帶電粒子，由靜止經(jīng)A、B間電場(chǎng)加速，速度變?yōu)関_B，
則由動(dòng)能定理可得：$q{U}_{1}=\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}$；
所以，${v}_{B}=\sqrt{\frac{2q{U}_{1}}{m}}=\sqrt{\frac{2×1×1{0}^{-6}×400}{2×1{0}^{-8}}}m/s=200m/s$；
因?yàn)镃、D兩板長(zhǎng)為L(zhǎng)=1m，兩板間電勢(shì)差為U₂=200V，OO′為C、D兩板間的中間線，
所以，C、D兩板相當(dāng)于有$E=\frac{{U}_{2}}l2ksap8$的勻強(qiáng)電場(chǎng)，
帶電粒子受到$F=qE=\frac{q{U}_{2}}ikbyrug$的力作類平拋運(yùn)動(dòng)，
帶電粒子在偏轉(zhuǎn)電場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)時(shí)間${t}_{L}=\frac{L}{{v}_{B}}=\frac{1}{200}s$，
帶電粒子恰好能從極板右邊緣射出，偏移高度$\fraccjkhptb{2}=\frac{1}{2}\frac{F}{m}{{t}_{L}}^{2}=\frac{1}{2}\frac{q{U}_{2}}{md}{{t}_{L}}^{2}$，
所以，$d=\sqrt{\frac{q{U}_{2}}{m}}{t}_{L}=\sqrt{\frac{1×1{0}^{-6}×200}{2×1{0}^{-8}}}×\frac{1}{200}m=\frac{1}{2}m$；
（2）帶電粒子進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)時(shí)速度v的水平分量v_x=v_B=200m/s，豎直分量${v}_{y}=\frac{F}{m}{t}_{L}=\frac{q{U}_{2}}{md}{t}_{L}=\frac{1×1{0}^{-6}×200}{2×1{0}^{-8}×\frac{1}{2}}×\frac{1}{200}m/s=100m/s$
v與水平方向的夾角θ，有$tanθ=\frac{{v}_{y}}{{v}_{x}}=\frac{1}{2}$；$v=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+{{v}_{y}}^{2}}=100\sqrt{5}m/s$；
帶電粒子在磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)的幾何關(guān)系如圖所示，；
由洛倫茲力做向心力，帶電粒子做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，$Bvq=m\frac{{v}^{2}}{R}$
所以，$R=\frac{mv}{Bq}$=$\frac{2×1{0}^{-8}×100\sqrt{5}}{1×1×1{0}^{-6}}m=2\sqrt{5}m$；
勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度$s=Rsinθ=2\sqrt{5}×\frac{1}{\sqrt{5}}m=2m$；
（3）設(shè)磁感應(yīng)強(qiáng)度B大小為B₀時(shí)，粒子運(yùn)動(dòng)軌跡恰好與PQ相切，則有rsinθ+r=s，所以，$r=\frac{s}{1+sinθ}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}m$，
再根據(jù)洛倫茲力作向心力，所以有${B}_{0}vq=m\frac{{v}^{2}}{r}$，
所以，${B}_{0}=\frac{mv}{qr}=1+\sqrt{5}（T）$；
當(dāng)$B＞1+\sqrt{5}（T）$時(shí)，粒子沒有碰到PQ就轉(zhuǎn)回來(lái)了；當(dāng)B＜1T時(shí)，粒子從磁場(chǎng)下邊界跑出去．
答：（1）C、D兩板間的距離d是$\frac{1}{2}$m；
（2）勻強(qiáng)磁場(chǎng)的寬度s是2m；
（3）若改變磁感強(qiáng)度B的大小，欲使該帶電粒子打不到光屏PQ上，則$B＜1T或B＞1+\sqrt{5}（T）$．

點(diǎn)評(píng) 在帶電粒子在磁場(chǎng)的偏轉(zhuǎn)問題中，經(jīng)常用到幾何關(guān)系，這時(shí)，建議畫圖理解，用圖象具象化，幫助我們理解運(yùn)動(dòng)過(guò)程．