Question

9．如圖所示，兩根平行金屬導(dǎo)軌a、b平行放置在斜面M上，導(dǎo)軌之間的距離為L(zhǎng)，在導(dǎo)軌的下方連接有一個(gè)阻值為R的電阻，兩導(dǎo)軌間有垂直于導(dǎo)軌平面向上的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，有一個(gè)質(zhì)量為m的金屬桿垂直置于兩導(dǎo)軌之上，與兩導(dǎo)軌接觸，但無(wú)摩擦，金屬桿在導(dǎo)軌間的電阻為R₀，將金屬桿系在一個(gè)輕質(zhì)細(xì)線上，細(xì)線跨過(guò)固定在斜面體頂端的一光滑定滑輪與一質(zhì)量為4m的物塊相連，一開(kāi)始金屬桿位于距離地面高為$\frac{{h}_{0}}{2}$處，將物塊由靜止釋放，物塊開(kāi)始下落，物塊下落h高度后，與金屬桿一起做勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)一開(kāi)始磁場(chǎng)的磁感應(yīng)強(qiáng)度為B₀，已知斜面傾角為θ=30°，重力加速度為g，試求：
（1）金屬桿做勻速運(yùn)動(dòng)的速度；
（2）物塊下落h的過(guò)程中，金屬桿上產(chǎn)生的熱量和通過(guò)R的電荷量；
（3）設(shè)金屬桿做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為v₀，從物塊下滑h后開(kāi)始計(jì)時(shí)，設(shè)此時(shí)t=0，從t=0開(kāi)始，由于磁場(chǎng)減弱，R中無(wú)電流通過(guò)，試寫出B隨t變化的關(guān)系式．

Answer 1

分析 （1）由安培力公式求出金屬桿受到的安培力，然后應(yīng)用平衡條件求出金屬桿的最大速度．
（2）由能量守恒定律可以求出系統(tǒng)產(chǎn)生的焦耳熱，然后求出金屬桿上產(chǎn)生的熱量；根據(jù)電流定義式的變形公式可以求出電荷量．
（3）穿過(guò)閉合回路的磁通量不變，電路不產(chǎn)生感應(yīng)電流，根據(jù)感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件與磁通量的計(jì)算公式分析答題．

解答 解：（1）金屬桿勻速運(yùn)動(dòng)時(shí)受到的安培力：F=B₀IL=$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+{R}_{0}}$，
對(duì)金屬桿，由平衡條件得：mgsinθ+$\frac{{B}_{0}^{2}{L}^{2}v}{R+{R}_{0}}$=T，
對(duì)物塊，由平衡條件得：4mg=T，
解得：v=$\frac{7mg（R+{R}_{0}）}{2{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）由能量守恒定律得：
4mgh-mghsin30°=$\frac{1}{2}$•4mv²+$\frac{1}{2}$mv²+Q，
金屬桿上產(chǎn)生的熱量：Q₀=$\frac{{R}_{0}}{{R}_{0}+R}$Q，
解得：Q₀=$\frac{7mgh{R}_{0}}{2（R+{R}_{0}）}$-$\frac{245{m}^{3}{g}^{2}（R+{R}_{0}）^{2}}{8{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$；
通過(guò)R的電荷量：q=It=$\frac{△Φ}{R+{R}_{0}}$=$\frac{{B}_{0}Lh}{R+{R}_{0}}$；
（3）穿過(guò)閉合回路的磁通量不變時(shí)不產(chǎn)生感應(yīng)電流，
（$\frac{{h}_{0}}{2sin30°}$+h）LB₀=（$\frac{{h}_{0}}{2sin30°}$+h+h′）LB，
其中：h′=v₀t+$\frac{1}{2}$at²，加速度：a=$\frac{4mg-mgsin30°}{4m+m}$=$\frac{7}{10}$g，
解得：B=$\frac{（{h}_{0}+h）{B}_{0}}{{h}_{0}+h+{v}_{0}t+\frac{7}{20}g{t}^{2}}$=$\frac{20（{h}_{0}+h）{B}_{0}}{20{h}_{0}+20h+20{v}_{0}t+7g{t}^{2}}$；
答：（1）金屬桿做勻速運(yùn)動(dòng)的速度為$\frac{7mg（R+{R}_{0}）}{2{B}_{0}^{2}{L}^{2}}$；
（2）物塊下落h的過(guò)程中，金屬桿上產(chǎn)生的熱量為$\frac{7mgh{R}_{0}}{2（R+{R}_{0}）}$-$\frac{245{m}^{3}{g}^{2}（R+{R}_{0}）^{2}}{8{B}_{0}^{4}{L}^{4}}$，通過(guò)R的電荷量為$\frac{{B}_{0}Lh}{R+{R}_{0}}$；
（3）R中無(wú)電流通過(guò)，試寫出B隨t變化的關(guān)系式為：B=$\frac{20（{h}_{0}+h）{B}_{0}}{20{h}_{0}+20h+20{v}_{0}t+7g{t}^{2}}$．

點(diǎn)評(píng) 本題是電磁感應(yīng)與力學(xué)相結(jié)合的綜合題，分析清楚物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程是解題的前提與關(guān)鍵，知道感應(yīng)電流產(chǎn)生的條件是求解最后一問(wèn)的前提；應(yīng)用安培力公式、平衡條件、能量守恒定律與磁通量的計(jì)算公式即可解題．