Question

（2011?天門模擬）真空中有一半徑為r的圓柱形勻強磁場區(qū)域，磁場方向垂直于紙面向里，Ox為過邊界上O點的切線，如圖所示．從O點在紙面內(nèi)向各個方向發(fā)射速率均為V₀的電子，設(shè)電子間相互作用忽略，且電子在磁場中的偏轉(zhuǎn)半徑也為r．已知電子的電荷量為e，質(zhì)量為m．
（1）速度方向分別與Ox方向夾角成60°和90°的電子，在磁場中的運動時間分別為多少？
（2）所有從磁場邊界射出的電子，速度方向有何特征？
（3）設(shè)在某一平面內(nèi)有M、N兩點，由M點向平面內(nèi)各個方向發(fā)射速率均為V₀的電子．請設(shè)計一種勻強磁場分布，使得由M點發(fā)出的所有電子都能夠會聚到N點．

Answer 1

分析：（1）先畫出粒子運動的軌跡，找出粒子運動的圓心角，根據(jù)圓心角與周期的關(guān)系求解時間；
（2）由軌跡圖可知O₂A與電子射出的速度方向垂直，電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場時，速度方向均與Ox軸相同；
（3）上題中從圓形磁場射出的這些速度相同的電子進(jìn)入一相同的勻強磁場后，一定會聚焦于同一點磁場的分布如圖所示，然后分對于從M點向MN連線上方運動的電子和對于從M點向MN連線下方運動的電子，根據(jù)半徑與MN間的距離的關(guān)系即可求解．

解答：解：（1）如圖，入射時電子速度與x軸夾角為θ，無論入射擊的速度方向與x軸的夾角為何值，由入射點O射出點A磁場圓心O₁和軌道圓心O₂一定組成邊長為r的菱形．因O₁O⊥O_X，OO₂垂直于入射速度，故∠OO₂A=θ．即電子在磁場中所偏轉(zhuǎn)的角度一定等于入射時電子速度與Ox軸的夾角．
當(dāng)θ=60°時，t₁=

T

6

=

πr

3v

．
當(dāng)θ=90°時，t₂=

T

4

=

πr

2v

．
（2）因∠OO₂A=θ，故O₂A⊥O_x．而O₂A與電子射出的速度方向垂直，可知電子射出方向一定與Ox軸方向平行，即所有的電子射出圓形磁場時，速度方向均與Ox軸相同．
（3）上述的粒子路徑是可逆的，（2）中從圓形磁場射出的這些速度相同的電子進(jìn)入一相同的勻強磁場后，
一定會聚焦于同一點磁場的分布如圖所示，對于從M點向MN連線上方運動的電子，兩磁場分別與MN相切，M、N為切點，且平行于兩磁場邊界圓心的連線O₁O₂．設(shè)為l，所加的磁場的邊界所對應(yīng)圓的半徑為r，故應(yīng)有2r≤l，即

2mv

eB

≤l，所以所加磁場磁感應(yīng)強度應(yīng)滿足B≥

2mv

el

．
同理，對于從M點向MN連線下方運動的電子，只要使半徑相同的兩圓形磁場與止方的兩圓形磁場位置關(guān)于MN對稱且磁場方向
與之相反即可．
答：（1）速度方向分別與Ox方向夾角成60°和90°的電子，在磁場中的運動時間分別為

πr

3v

和

πr

2v

；
（2）所有從磁場邊界射出的電子，速度方向均與Ox軸相同；
（3）如圖所示．

點評：本題主要考查了帶電粒子在磁場中做勻速圓周運動的問題，要求同學(xué)們能畫出粒子運動的軌跡，知道如何求小球在磁場中運動的時間，能熟練運用幾何關(guān)系解題，難度較大，屬于難題．