Question

20．如圖所示為一水平放置的彈簧振子，振子靜止于水平向右的x坐標(biāo)軸原點(diǎn)O，現(xiàn)對(duì)振子施加一個(gè)水平向右的恒力F后，振子能向右最遠(yuǎn)運(yùn)動(dòng)到x=x₀處，經(jīng)歷時(shí)間為t，不計(jì)空氣阻力，已知彈性勢(shì)能表達(dá)式為E=$\frac{1}{2}$kx²，彈簧振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期表達(dá)式為T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，求：

①?gòu)椈烧褡拥馁|(zhì)量；
②振子運(yùn)動(dòng)速度的最大值．

Answer 1

分析 （1）加上恒力F后，振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，平衡位置在O到x₀的中點(diǎn)處，此時(shí)外力等于彈簧彈力；振子向右最遠(yuǎn)處的過程經(jīng)歷時(shí)間為半個(gè)周期，由此即可求出質(zhì)量；
（2）根據(jù)給出的彈性勢(shì)能的表達(dá)式與功能關(guān)系即可求出．

解答 解：①加上恒力F后，振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)，平衡位置在O到x₀的中點(diǎn)處，此時(shí)外力等于彈簧彈力，F(xiàn)=k•$\frac{{x}_{0}}{2}$因其振動(dòng)周期公式為T=2π$\sqrt{\frac{m}{k}}$，由題意知，該振子做簡(jiǎn)諧振動(dòng)的周期為T=2t
聯(lián)立得m=$\frac{2F{t}^{2}}{{π}^{2}{x}_{0}}$
②振子到達(dá)平衡位置時(shí)速度最大，由功能關(guān)系知此時(shí)有
F•$\frac{{x}_{0}}{2}$=$\frac{1}{2}$m${v}_{m}^{2}$+$\frac{1}{2}$k•（$\frac{{x}_{0}}{2}$）²
振子到達(dá)x₀處有：F•x₀=$\frac{1}{2}$k${x}_{0}^{2}$
聯(lián)立得v_m=$\sqrt{\frac{F{x}_{0}}{2m}}$=$\frac{π{x}_{0}}{2t}$
答：①?gòu)椈烧褡拥馁|(zhì)量為$\frac{2F{t}^{2}}{{π}^{2}{x}_{0}}$；
②振子運(yùn)動(dòng)速度的最大值為$\frac{π{x}_{0}}{2t}$．

點(diǎn)評(píng) 該題結(jié)合彈簧振子的振動(dòng)考查胡克定律以及彈簧振子的能量，理解并能夠使用題目給出的公式是解答的關(guān)鍵．