Question

11．如圖（甲）的演示實驗，在上下面都是金屬板的玻璃盒內，放了許多用錫箔紙揉成的小球，當上下板間加上電壓后，小球就上下不停地跳動．

現取以下簡化模型進行定量研究：
如圖（乙）所示，電容為C的平行板電容器的極板A和B水平放置，相距為d，與電動勢為E、內阻可不計的電源相連．設兩板之間只有一個質量為m的導電小球，小球可視為質點．假設小球與極板發(fā)生碰撞后，小球的速度立即變?yōu)榱�，帶電情況也立即改變，小球所帶電荷符號與該極板相同，電量為極板電量的k倍（k＜＜1）．不計帶電小球對極板間勻強電場的影響．重力加速度為g．
（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運動，電動勢E至少應大于多少？
（2）設上述條件已滿足在較長的時間間隔T內小球做了很多次往返運動．求：
①在T時間內小球往返運動的次數；
②在T時間內電源輸出的平均功率．

Answer 1

分析 （1）由題意可知，電容器兩板間的電壓等于電源電動勢，由題意可知電場力與重力間的關系，再由電容器的電容公式可求得電量的表達式，即可求得電動勢；
（2）小球與極板碰后均做勻變速直線運動，則動力學公式可分別求得小球與上下極板各碰一次之后的運動時間，則可求得小球往返一次所用的時間；即可求得Ts內往返的次數；因小球與極板每碰一次，都會有q的電量通過電源，則可求得總電量，得到電流強度大小，根據P=EI求解電源輸出的平均功率．

解答 解：（1）用Q表示極板電荷量的大小，q表示碰后小球電荷量的大小，要使小球能不停地往返運動，小球所受的向上的電場力至少應大于重力，故：
$q•\frac{E}xc4d4m4＞mg$，（注意題目E表示電動勢大�。�
根據題意，有：
q=kQ，
電量：
Q=CE
解得：E＞$\sqrt{\frac{mgd}{kC}}$
（2）①當小球帶負電時，小球所受電場力與重力方向相反，向上做加速運動．以a ₁ 表示其加速度，t₁ 表示從B板到A板所用的時間，則有：
$q•\frac{E}4sqfe9v-mg=m{a}_{1}$，
其中：d=$\frac{1}{2}{a}_{1}{t}_{1}^{2}$，
當小球帶正電時，小球所受電場力與重力方向相同，向下做加速運動．以a₂ 表示其加速度，t ₂ 表示從A板到B板所用的時間，則有：
$q•\frac{E}4nbymss+mg=m{a}_{2}$
其中：d=$\frac{1}{2}{a}_{2}{t}_{2}^{2}$，
小球往返一次共用的時間為（t ₁+t₂ ），故小球在T時間內往返的次數N=$\frac{T}{{t}_{1}+{t}_{2}}$，
由以上有關各式得：N=$\frac{T}{{\sqrt{\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}-g}}+\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}+g}}}}}$；
②小球往返一次通過電源的電量為2q，在T時間內通過電源的總電量Q'=2qN，
電路中的平均電流I=$\frac{2qN}{T}$，
電源的輸出功率P=EI，
解得：P=$\frac{{2kC{E^2}}}{{\sqrt{\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}-g}}+\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}+g}}}}}$；
答：（1）欲使小球能夠不斷地在兩板間上下往返運動，電動勢E至少應大于$\sqrt{\frac{mgd}{kC}}$；
（2）①在T時間內小球往返運動的次數為$\frac{T}{{\sqrt{\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}-g}}+\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}+g}}}}}$；
②在T時間內電源輸出的平均功率為$\frac{{2kC{E^2}}}{{\sqrt{\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}-g}}+\frac{2d}{{\frac{{kC{E^2}}}{md}+g}}}}}$．

點評 本題中的通過跳球的運動來傳輸電荷量，要結合牛頓第二定律列式分析；重點在于明確題意，要求學生能夠從題干中找出物體運動的情景，并能聯(lián)系所學規(guī)律進行解題；對學生要求較高．