Question

【題目】如圖所示的xOy坐標(biāo)系中，y軸右側(cè)空間存在范圍足夠大的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B，方向垂直于xOy平面向里．P點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣6L，0），Q1、Q2兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為（0，3L），（0，﹣3L）．坐標(biāo)為（﹣L，0）處的C點(diǎn)固定一平行于y軸放置一足夠長(zhǎng)的絕緣彈性擋板，帶電粒子與彈性絕緣擋板碰撞前后，沿y方向分速度不變，沿x方向分速度反向，大小不變．帶負(fù)電的粒子質(zhì)量為m，電量為q，不計(jì)粒子所受重力．若粒子在P點(diǎn)沿PQ1方向進(jìn)入磁場(chǎng)，經(jīng)磁場(chǎng)運(yùn)動(dòng)后，求：

（1）只與擋板碰撞一次并能回到P點(diǎn)的粒子初速度大小；
（2）粒子能否經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O之后再回到P點(diǎn)；
（3）只與擋板碰撞三次并能回到P點(diǎn)的粒子初速度大小以及這種情況下?lián)醢宓拈L(zhǎng)度至少為多少．

Answer 1

【答案】
（1）解：粒子與擋板只碰撞一次，粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡如圖一所示，粒子運(yùn)動(dòng)的軌道半徑為R，碰撞前后出入磁場(chǎng)兩點(diǎn)之間的距離為L(zhǎng)

則：根據(jù)幾何關(guān)系可得：4Rcosθ﹣L=6L，其中：cosθ=

解得：R= ①

根據(jù)半徑公式：R= ②

聯(lián)立①②式可得：v=

答：只與擋板碰撞一次并能回到P點(diǎn)的粒子初速度大小為 ；

（2）設(shè)粒子在x軸上方與擋板碰撞n次，

每次圓周運(yùn)動(dòng)，粒子位置沿y軸向下平移的距離為2Rcosθ，

與擋板相碰后，粒子位置向上平移的距離為L(zhǎng)，

一次周期性運(yùn)動(dòng)粒子沿y軸共向下平移為2Rcosθ﹣L，

要使粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O之后再回到P點(diǎn)需滿足：

（n﹣1）（2Rcosθ﹣L）+2Rcosθ=3L （n=2，3，4…） ③

聯(lián)立②③式子可得：v= （n=2，3，4…）

所以，只要粒子速度滿足v= （n=2，3，4…）粒子就可以經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O之后再回到P點(diǎn)（圖二為n=2時(shí)的過(guò)程圖）

答：粒子能經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O之后再回到P點(diǎn)；

（3）若與擋板碰撞三次，如圖二所示，設(shè)擋板的長(zhǎng)度L0

根據(jù)幾何關(guān)系可得：3（2Rcosθ﹣L）+2Rcosθ=6L

解得：R= ④

根據(jù)半徑公式：R= 可得：v= ⑤

聯(lián)立④⑤式子可得：擋板的長(zhǎng)度的最小值L0=2（2Rcosθ﹣L）=2.5L

答：只與擋板碰撞三次并能回到P點(diǎn)的粒子初速度大小以及這種情況下?lián)醢宓拈L(zhǎng)度至少為2.5L．

【解析】（1）首先根據(jù)題目已知作出粒子運(yùn)動(dòng)的軌跡圖，求解帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的情況，先結(jié)合幾何關(guān)系求出粒子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的軌道半徑，由洛倫茲力提供向心力找出半徑公式，根據(jù)半徑公式求出粒子的速度．
（2）粒子進(jìn)入磁場(chǎng)后做周期性運(yùn)動(dòng)，分析粒子一個(gè)周期的運(yùn)動(dòng)情況，根據(jù)幾何關(guān)系以及對(duì)稱(chēng)性．即可求出粒子經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O之后再回到P點(diǎn)所滿足的關(guān)系式；
（3）粒子與擋板碰撞三次并能回到P點(diǎn)，作出軌跡圖，結(jié)合幾何關(guān)系，運(yùn)用半徑公式進(jìn)行求解．