Question

1．一探險隊在探險時遇到一山溝，垂直山溝方向的橫切面如圖所示，山溝的一側OA豎直，另一側的坡面與橫切面的交線OB呈拋物線形狀，與一平臺BC相連．已知山溝豎直一側OA的高度為2h，平臺的高度為h，C點離豎直一側OA的水平距離為2h．以溝底的O點為原點建立直角坐標系xOy，坡面與橫切面的交線的拋物線方程為y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$．質量為m的探險隊員從山溝的豎直一側沿水平方向跳向平臺．探險隊員可視為質點，忽略空氣阻力，重力加速度為g．
（1）若探險隊員以速度v₀水平跳出時，落在坡面OB的某處，則他在空中運動的時間為多少？
（2）為了能跳在平臺上，他的初速度大小應滿足什么條件？請計算說明．

Answer 1

分析 （1）人落在OB上某位置時，確定有位置坐標，根據(jù)位置坐標可以求出平拋運動下落和水平方向的位移，根據(jù)水平方向勻速直線運動豎直方向自由落體運動列方程求解即可；
（2）人落在平臺上，抓住臨界點B和C分別求出初速度，則落在平臺上的初速度應該介于這兩個初速度之間．

解答 解：（1）設探險隊員跳到坡面上時水平位移為x，豎直位移為H，
由平拋運動規(guī)律有：
x=v₀t     ①
H=$\frac{1}{2}g{t}^{2}$  ②
根據(jù)幾何關系有：
y=2h-H
由于落在OB上滿足拋物體線方程即y=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
2h-H=$\frac{{x}^{2}}{2h}$    ③
由①②③可解得H=$\frac{2g{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}$，
即運動時間t=$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）若探險員掉在C處，根據(jù)題意應該滿足幾何關系有：
$h=\frac{1}{2}g{t}^{2}$，解得t=$\sqrt{\frac{2h}{g}}$，
又因為x=2h=v₀t，所以${v}_{0}=\sqrt{2gh}$，
若探險員掉在B 處，有：h=$\frac{{x}^{2}}{2h}$，
x=$\sqrt{2}h$=v₀t，
解得${v}_{0}=\sqrt{gh}$，
即探險員落在BC處的速度關系應該滿足：$\sqrt{gh}≤{v}_{0}≤\sqrt{2gh}$．
答：（1）他在空中運動的時間為$\sqrt{\frac{4{h}^{2}}{{{v}_{0}}^{2}+gh}}$．
（2）為了能跳在平臺上，他的初速度應滿足$\sqrt{gh}≤{v}_{0}≤\sqrt{2gh}$．

點評 解決本題的關鍵知道平拋運動在水平方向和豎直方向上的運動規(guī)律，結合數(shù)學關系，抓住臨界情況，運用運動學公式靈活求解，有一定的難度．