Question

5．“神舟”六號(hào)飛船完成了預(yù)定空間科學(xué)和技術(shù)試驗(yàn)任務(wù)后，返回艙于2005年10月17日4時(shí)11分開始從太空向地球表面按預(yù)定軌道返回．在離地l0km的高度返回艙打開阻力降落傘減速下降，返回艙在這一過程中所受空氣阻力與速度的平方成正比，比例系數(shù)（空氣阻力系數(shù)）為k．已知返回艙的總質(zhì)量M=3000kg，所受空氣浮力恒定不變，且認(rèn)為豎直降落．從某時(shí)刻起開始計(jì)時(shí)，返回艙的運(yùn)動(dòng)v-t圖象如圖中的AD曲線所示，圖中AB是曲線在A點(diǎn)的切線，切線交于橫軸于B點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 10，0 ），CD是AD的漸近線，亦是平行于橫軸的直線，交縱軸于C點(diǎn)，C點(diǎn)的坐標(biāo)為（ 0，6 ）．請(qǐng)解決下列問題：（取g=10m/s²）
（1）在初始時(shí)刻v₀=160m/s時(shí)，它的加速度多大？
（2）推證空氣阻力系數(shù)k的表達(dá)式并算出其數(shù)值；
（3）返回艙在距地高度h=10m時(shí)，飛船底部的4個(gè)反推力小火箭點(diǎn)火工作，使其速度由6m/s迅速減至1m/s后落在地面上． 若忽略燃料質(zhì)量的減少對(duì)返回艙總質(zhì)量的影響，并忽略此階段速度變化而引起空氣阻力的變化，試估算每支小火箭的平均推力（計(jì)算結(jié)果取兩位有效數(shù)字）．

Answer 1

分析 （1）過A點(diǎn)切線的斜率大小等于初始時(shí)刻的加速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律，列出當(dāng)速度為160m/s時(shí)的表達(dá)式Kv₀²+f-Mg=Ma₁．當(dāng)速度為6m/s時(shí)，做勻速運(yùn)動(dòng)，列出表達(dá)式Kv₁²+f-Mg=0．聯(lián)立兩方程組解出k．
（3）在距地高度h=10m前，返回艙已處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，返回艙所受浮力、阻力與重力的合力為0．減速運(yùn)動(dòng)的加速度由火箭推力產(chǎn)生，根據(jù)勻減速運(yùn)動(dòng)求出加速度，再根據(jù)牛頓第二定律求出每支小火箭的平均推力．

解答 解：（1）根據(jù)速度圖象可知，在初始v₀=160m/s時(shí)，過A點(diǎn)切線的斜率即為此時(shí)的加速度，設(shè)為a₁，其大小為：
a₁=$\frac{△v}{△t}$=$\frac{160}{10}$m/s²=16m/s²   
（2）由圖知，返回艙的v-t圖的斜率逐漸減小，最后是以v₁=6m/s的速度作勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)返回艙所受空氣浮力為f，在t=0時(shí)，根據(jù)牛頓第二定律則有：
Kv₀²+f-Mg=Ma₁…①
速度為 v₁=6 m/s 時(shí)，返回艙受力平衡，即有：
Kv₁²+f-Mg=0…②
由①、②兩式解得：k=$\frac{M{a}_{1}}{{v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}}$                  
代入數(shù)值得：k=$\frac{3000×16}{16{0}^{2}-{6}^{2}}$kg/m=1.88 kg/m      
（3）由題意知，在距地高度h=10m前，返回艙已處于勻速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)，返回艙所受浮力、阻力與重力的合力已持續(xù)為0．故返回艙在著地減速期間的加速度實(shí)際由4個(gè)小火箭的反推力共同產(chǎn)生．設(shè)每支小火箭的平均推力為F₀，反推加速度大小為a₂，著地速度為v₂，根據(jù)牛頓第二定律得：
4F₀=M a₂…③
（ 或  Kv₁²+f-Mg+4F₀=M a₂）
由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式知：v₂²-v₁²=-2 a₂ h…④
由③、④兩式解得：
F₀=$\frac{M（{v}_{1}^{2}-{v}_{2}^{2}）}{8h}$=$\frac{3000}{8}$×$\frac{{6}^{2}-{1}^{2}}{10}$N=1.3×10³ N   
答：（1）在初始時(shí)刻v₀=160m/s時(shí)，它的加速度是16m/s²．
（2）空氣阻力系數(shù)k的表達(dá)式為k=$\frac{M{a}_{1}}{{v}_{0}^{2}-{v}_{1}^{2}}$，k是1.88 kg/m．
（3）每支小火箭的平均推力是1.3×10³ N．

點(diǎn)評(píng) 解決本題的關(guān)鍵掌握牛頓第二定律．知道速度時(shí)間圖線上點(diǎn)的切線斜率表示瞬時(shí)加速度，以及在距地高度h=10m時(shí)，飛船底部的4個(gè)反推力小火箭點(diǎn)火工作，合力就為4個(gè)反推力之和．