Question

11．在地面上方某一點分別以v₁和v₂的初速度先后豎直向上拋出兩個小球（可視為質(zhì)點），第二個小球拋出后經(jīng)過△t時間與第一個小球相遇，要求相遇地點在拋出點或拋出點以上，改變兩球拋出的時間間隔，便可以改變△t值，試求
（1）若v₁＞v₂，△t的最大值
（2）若v₁＜v₂，△t的最大值．

Answer 1

分析 （1）若v₁＞v₂，當(dāng)?shù)诙�個小球剛好落回拋出點時，△t的值最大，由運動學(xué)速度可求出．
（2）若v₁＜v₂，當(dāng)兩球在第一個到達最高點時相遇時，△t的值最大．由位移公式求解．

解答 解：（1）若${v}_{1}^{\;}＞{v}_{2}^{\;}$，△t取最大值時，應(yīng)該在拋出點處相遇
${h}_{2}^{\;}={v}_{2}^{\;}△t-\frac{1}{2}g（△t）_{\;}^{2}，{h}_{2}^{\;}=0$，則△t最大值$△t=\frac{2{v}_{2}^{\;}}{g}$
（2）若${v}_{1}^{\;}＜{v}_{2}^{\;}$，△t取最大值時，應(yīng)該在第一個小球的上拋最高點相遇
${h}_{1}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}$，${h}_{1}^{\;}={h}_{2}^{\;}=\frac{{v}_{1}^{2}}{2g}={v}_{2}^{\;}△t-\frac{1}{2}g（△t）_{\;}^{2}$
解得$△t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}±\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$，分析可知$△t＜\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}$，所以舍去$△t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}+\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$
最大值$△t=\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}-\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$
答：（1）若v₁＞v₂，△t的最大值為$\frac{2{v}_{2}^{\;}}{g}$
（2）若v₁＜v₂，△t的最大值$\frac{{v}_{2}^{\;}}{g}-\frac{\sqrt{{v}_{2}^{2}-{v}_{1}^{2}}}{g}$

點評 本題的解題是判斷并確定出△t取得最大的條件，也可以運用函數(shù)法求極值分析．