Question

7．如圖所示，寬度為L的粗糙平行金屬導軌PQ和P′Q′傾斜放置，頂端QQ′之間連接一個阻值為R的電阻和開關S，底端PP′處與一小段水平軌道用光滑圓弧相連．已知底端PP′離地面的高度為h，傾斜導軌處于垂直于導軌平面，磁感應強度為B的勻強磁場（圖中未畫出）中．若斷開開關S，將一根質量為m、電阻為r、長也為L的金屬棒從AA′處靜止開始滑下，金屬棒落地點離PP′的水平距離為x₁；若閉合開關S，將金屬棒仍從AA′處靜止開始滑下，則金屬棒落地點離PP′的水平距離為x₂．不計導軌電阻，忽略金屬棒經(jīng)過PP′處的能量損失，已知重力加速度為g，求：
（1）開關斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大小；
（2）開關閉合時，金屬棒在下滑過程中產生的焦耳熱；
（3）開關S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處靜止開始滑下，水平射程仍為x₂，求電阻R上消耗的最大電功率．

Answer 1

分析 （1）金屬棒離開底端PP′后，做平拋運動，已知水平距離和高度，根據(jù)平拋運動的知識，可以求出棒開底端PP′的速度大��；
（2）開關閉合后，金屬棒下滑時，需要克服安培力做功產生焦耳熱，根據(jù)能量守恒定律求解焦耳熱；
（3）根據(jù)平拋的水平距離相等，說明金屬棒離開PP′時的速度相等，金屬棒在傾斜導軌上應先做加速度減小的加速運動，然后勻速運動，勻速運動時速度最大，再求解電阻R上消耗的最大電功率．

解答 解：（1）開關斷開時，設金屬棒離開底端PP′的速度大小為v₁，在空中運動的時間為t，則：
在水平方向上：x₁=v₁t
在豎直方向上有：h=$\frac{1}{2}$gt²
聯(lián)立可得：v₁=x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
（2）開關斷開時，在金屬棒沿傾斜導軌下滑的過程中，重力做功為W_G，摩擦力做功為W_F．
根據(jù)動能定理可得：W_G+W_F=$\frac{1}{2}$mv₁²
根據(jù)結果可得，開關閉合時，金屬棒離開底端PP′的速度：v₂=x₂$\sqrt{\frac{g}{2h}}$
在金屬棒沿傾斜導軌下滑的過程中，重力做功和摩擦力做功與開關斷開時相同，安培力做功為W_安，系統(tǒng)產生的焦耳熱為Q，
由動能定理可得：W_G+W_F+W_安=$\frac{1}{2}$mv₂²
又由功能關系可得：Q=|W_安|
金屬棒產生的焦耳熱為：Q_r=$\frac{r}{R+r}$Q
聯(lián)立上述方程可得：Q_r=$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）．
（3）據(jù)題，開關S仍閉合，金屬棒從比AA′更高處靜止開始滑下，水平射程仍為x₂，說明金屬棒離開PP′時的速度相等，則知金屬棒在傾斜導軌上先做加速度減小的加速運動，然后勻速運動．勻速運動時速度最大，金屬棒產生的感應電動勢最大，電阻R上消耗的電功率最大．
此時，金屬棒產生的感應電動勢為 E=BLv₂．
電阻R兩端的電壓 U=$\frac{R}{R+r}$E
電阻R上消耗的最大電功率為 P=$\frac{{U}^{2}}{R}$
聯(lián)立解得 P=$\frac{R{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}^{2}g}{2h（R+r）^{2}}$
答：
（1）開關斷開時，金屬棒離開底端PP′的速度大小為x₁$\sqrt{\frac{g}{2h}}$；
（2）開關閉合時，金屬棒在下滑過程中產生的焦耳熱為$\frac{r}{R+r}$•$\frac{mg}{4h}$（x₁²-x₂²）；
（3）電阻R上消耗的最大電功率為$\frac{R{B}^{2}{L}^{2}{x}_{2}^{2}g}{2h（R+r）^{2}}$．

點評 本題首先要掌握平拋運動的研究方法，其次能運用能量守恒定律求解熱量，都是常用的思路，平時要多加強這方面的練習，熟練掌握．