Question

3． 在豎直平面內(nèi)建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，將一金屬桿的OA部分彎成拋物線形狀、AB部分為直線并與拋物線的A端相切，將彎好的金屬拋物線的O端固定在坐標(biāo)原點(diǎn)且與水平x軸相切，平面直角坐標(biāo)系與金屬拋物線共面．已知金屬桿拋物線部分的方程為y=$\frac{5}{9}$x²，A點(diǎn)縱坐標(biāo)為y_A=0.8m．一處于原長(zhǎng)的輕彈簧穿在AB桿上，彈簧下端固定在B點(diǎn)．現(xiàn)將一質(zhì)量m=0.2kg的物塊（中間有孔）套在金屬桿上，由O點(diǎn)以初速度v₀=5m/s水平拋出，到達(dá)A點(diǎn)時(shí)速度V_A=6m/s并繼續(xù)沿桿下滑壓縮彈簧到最低點(diǎn)C （圖中未畫(huà)出），然后物塊又被彈簧反彈恰能到達(dá)A點(diǎn)．已知物塊與金屬桿間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ=$\frac{1}{6}$，g=10m/s²，sin37°=0.6，cos37°=0.8，空氣阻力忽略不計(jì)．求：
（1）拋出的物塊沿金屬桿拋物線OA部分滑動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功：
（2）上述過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能．

Answer 1

分析 （1）對(duì)O到A過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可求解；
（2）對(duì)A到C到A整個(gè)過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理求得摩擦力做的功，進(jìn)而得到A到C過(guò)程摩擦力做的功；然后根據(jù)幾何關(guān)系求得AB的傾斜角，進(jìn)而得到A到C過(guò)程重力做的功，最后對(duì)A到C過(guò)程應(yīng)用動(dòng)能定理即可．

解答 解：（1）在拋物線OA部分滑動(dòng)時(shí)只有重力、摩擦力做功，故由動(dòng)能定理可得：克服摩擦力做的功為：
$W=\frac{1}{2}m{{v}_{0}}^{2}+mg{y}_{A}-\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=0.5J$；
（2）物體從A到C，和從C到A克服摩擦力做的功W′相等，又有整個(gè)過(guò)程只有摩擦力、重力、彈簧彈力做功，故由動(dòng)能定理可得：
$2W′=\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=3.6J$
解得：W′=1.8J；
由拋物線部分的方程為y=$\frac{5}{9}$x²，可知：x_A=1.2m
那么，AB的傾斜角為：$θ=arctan（\frac{10}{9}{x}_{A}）=arctan\frac{4}{3}=53°$；
所以，物體從A到C過(guò)程，摩擦力做功為：：W_f=-μmgcos53°•AC=-0.1mgAC=-W′=-1.8J
重力做功為：W_G=mgsin53°•AC=0.8mgAC=14.4J；
所以，對(duì)物體從A到C應(yīng)用動(dòng)能定理可得：彈簧的最大彈性勢(shì)能${E}_{p}={W}_{G}+{W}_{f}+\frac{1}{2}m{{v}_{A}}^{2}=16.2J$；
答：（1）拋出的物塊沿金屬桿拋物線OA部分滑動(dòng)時(shí)克服摩擦力做的功為0.5J；
（2）上述過(guò)程中彈簧的最大彈性勢(shì)能為16.2J．

點(diǎn)評(píng) 經(jīng)典力學(xué)問(wèn)題一般先對(duì)物體進(jìn)行受力分析，求得合外力及運(yùn)動(dòng)過(guò)程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動(dòng)能定理及幾何關(guān)系求解．