Question

16．如圖所示，質(zhì)量為4m的足夠長(zhǎng)木板C靜止在光滑水平面上，質(zhì)量均為m的兩個(gè)小物體A、B放在C的左端，A、B間距離為d，現(xiàn)同時(shí)對(duì)A、B施加水平向右的瞬時(shí)沖量而使之分別獲得初速度v₀和3v₀，A、B始終未滑離C，若A、B與C之間的動(dòng)摩擦因數(shù)分別為μ和3μ，求：
（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A的最小速度；
（2）最終A、B相距多遠(yuǎn)．
（3）整個(gè)過(guò)程中A與C及B與木板C因摩擦所產(chǎn)生的熱量之比．

Answer 1

分析 （1）對(duì)A、B施加水平向右的瞬時(shí)沖量，使之分別獲得初速度v₀和3v₀后，A、B都向右做減速運(yùn)動(dòng)，B向右做加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)A與C的速度相同后，AC一起向右做加速運(yùn)動(dòng)，那么AC相對(duì)靜止時(shí)A的速度最小．根據(jù)動(dòng)量守恒定律和動(dòng)量定理分別對(duì)A、長(zhǎng)木板研究，求出運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A的最小速度．
（2）根據(jù)牛頓第二定律分別求出AC相對(duì)靜止前后三個(gè)物體的加速度大小，由速度位移公式求出從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到三個(gè)物體均相對(duì)靜止時(shí)相對(duì)于地面的位移，再求出A與B最終相距的距離．
（3）結(jié)合運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出整個(gè)過(guò)程中C的位移大小，從而得出A、B相對(duì)C滑動(dòng)的位移大小，結(jié)合摩擦產(chǎn)生的熱量與相對(duì)位移的關(guān)系求出產(chǎn)生的熱量之比．

解答 解：（1）當(dāng)A、C速度相等時(shí)，A的速度最小，
設(shè)經(jīng)過(guò)t時(shí)間，A與C相對(duì)靜止，共同速度為v_AC，此時(shí)B的速度為v_B，規(guī)定向右為正方向，由動(dòng)量守恒得：
mv₀+3mv₀=（m+4m）v_AC+mv_B
根據(jù)動(dòng)量定理，
對(duì)A：-μmgt=m（v_AC-v₀）
對(duì)C：（μmg+3μmg）t=4mv_AC
聯(lián)立以上三式解得：v_AC=0.5v₀，v_B=1.5v₀．
（2）AC相對(duì)靜止前，AB做勻減速運(yùn)動(dòng)，C做勻加速運(yùn)動(dòng)，三個(gè)物體的加速度分別為：
${a}_{A}=\frac{μmg}{m}=μg$，${a}_{B}=\frac{3μmg}{m}=3μg$，${a}_{C}=\frac{μmg+3μmg}{4m}=μg$，
AC相對(duì)靜止后，AC做勻加速運(yùn)動(dòng)，B做勻減速運(yùn)動(dòng)，三個(gè)物體的加速度分別為：
${a}_{A}′={a}_{C}′=\frac{3μmg}{5m}=\frac{3μg}{5}$，
a_B′=a_B=3μg，
最終三個(gè)物體一起做勻速直線運(yùn)動(dòng)．
從開(kāi)始運(yùn)動(dòng)到三個(gè)物體都相對(duì)靜止，A、B相對(duì)于地的位移分別為：
${s}_{A}=\frac{{{v}_{0}}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{A}}+\frac{{v}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{A}′}$=$\frac{29{{v}_{0}}^{2}}{54μg}$，
${s}_{B}=\frac{（3{v}_{0}）^{2}-{v}^{2}}{2{a}_{B}}$=$\frac{77{{v}_{0}}^{2}}{54μg}$，
規(guī)定向右為正方向，對(duì)三者組成的系統(tǒng)運(yùn)用動(dòng)量守恒得：
mv₀+3mv₀=（m+m+4m）v
解得：v=$\frac{2}{3}$v₀．
所以A與B最終相距為：△s=d+s_B-s_A=d+$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$．
（3）C在整個(gè)過(guò)程中的位移為：${s}_{C}=\frac{{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{C}}+\frac{{v}^{2}-{{v}_{AC}}^{2}}{2{a}_{C}′}$=$\frac{31{{v}_{0}}^{2}}{108μg}$，
可知A相對(duì)C滑動(dòng)的位移為：$△{x}_{A}={s}_{A}-{s}_{C}=\frac{{{v}_{0}}^{2}}{4μg}$，
B相對(duì)C滑動(dòng)的位移為：△x_B=s_B-s_C=$\frac{41{{v}_{0}}^{2}}{36μg}$．
Q_A=μmg△x_A，Q_B=3μmg△x_B，
解得：$\frac{{Q}_{A}}{{Q}_{B}}$=$\frac{3}{41}$．
答：（1）運(yùn)動(dòng)過(guò)程中A的最小速度為0.5v₀；
（2）最終A、B相距d+$\frac{8{{v}_{0}}^{2}}{9μg}$．
（3）整個(gè)過(guò)程中A與C及B與木板C因摩擦所產(chǎn)生的熱量之比為3：41．

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了動(dòng)量守恒定律、動(dòng)量定理、牛頓運(yùn)動(dòng)定律和運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，運(yùn)動(dòng)過(guò)程比較復(fù)雜，研究對(duì)象比較多，按程序法進(jìn)行分析，理清物體在整個(gè)過(guò)程中的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，選擇合適的規(guī)律進(jìn)行求解．