Question

（2013?安徽模擬）如圖所示，光滑的水平面AB與半徑為R=0.32m的光滑豎直半圓軌道BCD在B點(diǎn)相切，D為軌道最高點(diǎn)．用輕質(zhì)細(xì)線連接甲、乙兩小球，中間夾一輕質(zhì)彈簧，彈簧與甲乙兩球不栓接．甲球的質(zhì)量為m₁=0．lkg，乙球的質(zhì)量為m₂=0.3kg，甲、乙兩球靜止在光滑的水平面上．現(xiàn)固定甲球，燒斷細(xì)線，乙球離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道恰好能通過D點(diǎn)．重力加速度g取l0m/s²，甲、乙兩球可看作質(zhì)點(diǎn)．
（l）試求細(xì)線燒斷前彈簧的彈性勢能．
（2）若甲球不固定，燒斷細(xì)繩，求乙球離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道能達(dá)到的最大高度．
（3）若同時(shí)給甲、乙兩球向右初速度v_o燒斷細(xì)繩，乙球離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道仍恰好能通過D點(diǎn)．求v_o的大�。�

Answer 1

分析：（1）乙球恰好能通過D點(diǎn)，由重力提供向心力，列式求出乙球通過D點(diǎn)時(shí)的速度大小．根據(jù)機(jī)械能守恒可求出燒斷細(xì)線后瞬間乙球的速度．根據(jù)系統(tǒng)的機(jī)械能守恒求解細(xì)線燒斷前彈簧的彈性勢能．
（2）若甲球不固定，燒斷細(xì)線的過程，兩球組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒，機(jī)械能也守恒，運(yùn)用兩大守恒定律列式，可求得細(xì)線燒斷瞬間兩球的速度大小，再對乙球，根據(jù)機(jī)械能守恒求解達(dá)到的最大高度．
（3）甲乙兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒，列式兩個(gè)守恒方程；在D點(diǎn)，利用第1小題的結(jié)果，聯(lián)立求解．

解答：解：（1）設(shè)乙球恰好通過D點(diǎn)的速度為v_D，此時(shí)由重力提供向心力，則有：
   m₂g=m₂

v 2 D

R

      
解得：v_D=

gR

=

10×0.32

m/s=

3.2

m/s
設(shè)彈簧的彈性勢能E_p，地面為零勢能面．由機(jī)械能守恒得：
  E_p=m₂g×2R+

1

2

m2

v

2 D

解得：E_p=0.3×10×2×0.32+

1

2

×0.3×3.2=2.4J
（2）若甲球不固定，取向右方向?yàn)檎�方向．根�?jù)甲乙球和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒得：
  m₂v₂-m₁v₁=0
  E_p=

1

2

m1

v

2 1

+

1

2

m2

v

2 2

對于乙球，由機(jī)械能守恒得：
   m₂gh=

1

2

m2

v

2 2

解得：h=

5

8

R=0.2m，因h＜R，故乙球不會(huì)脫離半圓軌道，乙球能達(dá)到的最大高度 h=0.2m
（3）甲乙兩球和彈簧組成的系統(tǒng)動(dòng)量守恒、機(jī)械能守恒
 （m₁+m₂）v₀=m₁v₁′+m₂v₂′
 

1

2

（m₁+m₂）v

2 0

+E_p=

1

2

m1

v

′2 1

+

1

2

m2

v

′2 2

且：E_p=2.4J
解得：v₀=

1

2

5gR

=

5×10×0.32

2

m/s=2m/s
答：（l）細(xì)線燒斷前彈簧的彈性勢能為2.4J．
（2）乙球離開彈簧后進(jìn)入半圓軌道能達(dá)到的最大高度為0.2m．
（3）v_o的大小為2m/s．

點(diǎn)評(píng)：分析清楚運(yùn)動(dòng)過程，應(yīng)用牛頓第二定律、動(dòng)量守恒定律、能量守恒定律即可正確解題．