Question

17．如圖所示，足夠長的光滑細(xì)桿水平放置．質(zhì)量為m的圓環(huán)C套在細(xì)桿上，長為l的輕質(zhì)細(xì)繩一端拴在圓環(huán)底部的O點，另一端栓接質(zhì)量為2m的小球B．質(zhì)量為m的小球A通過長為l的輕質(zhì)細(xì)繩一端固定在細(xì)桿上．A、B兩球靜止懸掛，兩球剛好接觸，球心在同一水平線上．將小球A拉到與O點登高處，使細(xì)繩伸直后由靜止釋放．不考慮A、B兩球碰撞時的機械能損失，細(xì)繩的形變及空氣阻力的影響．重力加速度為g．
（1）求小球A運動到最低點與B球碰撞前細(xì)繩中拉力的大�。�
（2）A、B兩球第一次碰撞后擺動的最大高度分別是多少？

Answer 1

分析 （1）小球下擺過程中機械能守恒，由機械能守恒定律求小球A運動到最低點的速度．再由向心力公式求細(xì)繩中拉力的大��；
（2）A、B兩球碰撞時不計機械能損失，根據(jù)動量守恒定律和機械能守恒定律列式，可求得碰后兩者的速度．再對BC組成的系統(tǒng)研究，當(dāng)兩者速度相同時B上升到最大高度，由水平動量守恒和機械能守恒求B擺動的最大高度．對碰后A，運用機械能守恒定律求A擺動的最大高度．

解答 解：（1）設(shè)小球A到達最低點與B碰撞前的速度為v₀．由動能定理得
   mgl=$\frac{1}{2}m{v}_{0}^{2}$
設(shè)A與B球碰撞前細(xì)繩中拉力的大小為F，由牛頓第二定律得
   F-mg=m$\frac{{v}_{0}^{2}}{l}$
解得 v₀=$\sqrt{2gl}$，F(xiàn)=3mg
（2）設(shè)A、B兩球碰后瞬間速度分別為v_A和v_B．以A、B兩球組成的系統(tǒng)為研究對象，取水平向右為正方向，由動量守恒定律得
   mv₀=mv_A+2mv_B．
由機械能守恒定律得
  $\frac{1}{2}$mv₀²=$\frac{1}{2}$mv_A²+$\frac{1}{2}$×2mv_B²．
對A球，設(shè)擺動的最大高度為h，由機械能守恒定律得 
  $\frac{1}{2}$mv_A²=mgh
解得 h=$\frac{1}{9}$l
以B、C組成的系統(tǒng)為研究對象，當(dāng)B球向右擺動到最高點時圓環(huán)C與小球B水平速度相同，設(shè)此時速度為v，B球上擺的最大高度為H，取水平向右為正方向，由水平動量守恒得
  2mv_B=3mv
  $\frac{1}{2}$×2mv_B²=$\frac{1}{2}$×3mv²+2mgH
解得 H=$\frac{4}{27}$l
答：
（1）小球A運動到最低點與B球碰撞前細(xì)繩中拉力的大小是3mg；
（2）A、B兩球第一次碰撞后擺動的最大高度分別是$\frac{1}{9}$l和$\frac{4}{27}$l．

點評 解決本題的關(guān)鍵是要理清三球的運動過程，知道彈性碰撞遵守兩大守恒：動量守恒和動能守恒．要注意B上擺過程中，BC系統(tǒng)的水平動量守恒，但總動量并不守恒．