Question

19．如圖甲所示，足夠長(zhǎng)的光滑導(dǎo)軌傾角為30°，間距L=1m，電阻不計(jì)，恒定的非勻強(qiáng)磁場(chǎng)方向垂直于斜面向下，電阻R=1Ω，導(dǎo)體棒ab質(zhì)量m=0.25kg，其電阻r=1Ω，垂直于導(dǎo)軌放置．現(xiàn)導(dǎo)體棒ab從磁場(chǎng)上邊界由靜止下滑，測(cè)得導(dǎo)體棒所到達(dá)位置的磁感應(yīng)強(qiáng)度B與導(dǎo)體棒在該位置速度之間的關(guān)系如圖乙所示．（g取l0m/s²）
（1）求導(dǎo)體棒下滑2s時(shí)的速度和位移；
（2）求導(dǎo)體棒下滑2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱．

Answer 1

分析 由于導(dǎo)體在恒定的非勻強(qiáng)磁場(chǎng)中切割磁感線，所以產(chǎn)生的電動(dòng)勢(shì)是變化的．由圖乙可以看出：B²與$\frac{1}{v}$成正比，也就是B²×$\frac{1}{v}$  是一個(gè)定值．而切割磁感線產(chǎn)生感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的E=BLv，這是一個(gè)瞬時(shí)值公式，由于感應(yīng)電流受到的安培力，F(xiàn)=BIL，根據(jù)歐姆定律$I=\frac{E}{R+r}$，聯(lián)立幾式得：安培力$F=B•I•L=B•\frac{BLv}{R+r}•L=\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}$，在這個(gè)式子中恰好有一個(gè)B²v 的因子是恒定的，而其他量L、R、r均為已知，則安培力為一個(gè)恒定的值．那么據(jù)牛頓第二定律導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，這是此題的關(guān)鍵點(diǎn)．
（1）據(jù)牛頓第二定律求出加速度，再由運(yùn)動(dòng)學(xué)公式求出速度和位移．
（2）由能量守恒：減小的機(jī)械能等于增加的焦耳熱．

解答 解：（1）由圖象乙可知：棒下滑的任意狀態(tài)有
     B²v=0.5T²•m•s^{-1 ①}
對(duì)棒下滑過程中某一狀態(tài)由牛頓第二定律得：
      $mgsin30°-\frac{{B}^{2}{L}^{2}v}{R+r}=ma$    ②
以上兩式代入數(shù)據(jù)可得物體物體的加速度     
             a=4m/s²
可見導(dǎo)體棒在斜面上做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．t=2s時(shí)，棒的速度：
            v=at=8m/s  
棒的位移：$s=\frac{1}{2}a{t}^{2}=8m$       ③
（2）由能量守恒定律得：
       $mg•s•sin30°=\frac{1}{2}m{v}^{2}+Q$    ④
代入數(shù)據(jù)得：Q=2J
答：（1）導(dǎo)體棒下滑2s時(shí)的速度為8m/s，位移為8m．
（2）導(dǎo)體棒下滑2s內(nèi)回路中產(chǎn)生的焦耳熱為2J．

點(diǎn)評(píng) 本題的關(guān)鍵點(diǎn)在于從給出的圖象中找到導(dǎo)體棒的運(yùn)動(dòng)規(guī)律，題設(shè)的${B}^{2}--\frac{1}{v}$圖象，即磁感應(yīng)強(qiáng)度隨速度增大而減小，這只是定性關(guān)系，只有從切割磁感線產(chǎn)生電動(dòng)勢(shì)的公式、歐姆定律、安培力公式三者聯(lián)立才能找到定量關(guān)系-即安培力不變，從而判斷出導(dǎo)體棒做勻加速直線運(yùn)動(dòng)．