Question

3．如圖所示，一輕質(zhì)彈簧上端固定在O點(diǎn)，下端與一輕質(zhì)活塞相連，活塞的橫街面積S=50cm²，質(zhì)量m=5kg的柱型氣缸內(nèi)被活塞封閉了一定質(zhì)量的理想氣體．若逐漸降低氣體溫度，當(dāng)溫度T₁=360K時(shí)，氣缸對地面恰好沒有壓力．已知?dú)飧讓?dǎo)熱性能良好，不計(jì)活塞與汽缸壁之間的摩擦，設(shè)大氣壓p_壓=1×10²Pa，g取10m/s²．
（1）若彈簧的勁度系數(shù)k=500N/m，當(dāng)氣體溫度升高到T₂=500K時(shí)，彈簧處于自然狀態(tài)，求此時(shí)活塞離氣缸底部的距離；
（2）當(dāng)降低氣體溫度為某一數(shù)值時(shí)，發(fā)現(xiàn)氣缸離開地面上升了5cm，求此時(shí)氣體的溫度．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)溫度為T₁=360K時(shí)，氣缸對地面恰好沒有壓力，根據(jù)胡克定律此時(shí)彈簧伸長量，當(dāng)氣體溫度升高到T₂=500K時(shí)，彈簧處于自然狀態(tài)，設(shè)此時(shí)活塞離氣缸底部的距離為l，根據(jù)體積公式求出體積得表達(dá)式，再根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程求解即可；
（2）根據(jù)蓋•呂薩克定律列式求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)溫度為T₁=360K時(shí)，氣缸對地面恰好沒有壓力，此時(shí)彈簧伸長量x=$\frac{mg}{k}=0.1m$，
氣體壓強(qiáng)${P}_{1}={P}_{0}-\frac{mg}{S}=9×1{0}^{4}Pa$，
當(dāng)氣體溫度升高到T₂=500K時(shí)，彈簧處于自然狀態(tài)，設(shè)此時(shí)活塞離氣缸底部的距離為l，
則溫度為T₁=360K時(shí)，氣體體積為V₁=（l-x）S，
當(dāng)氣體溫度升高到T₂=500K時(shí)，氣體體積V₁=lS，壓強(qiáng)${P}_{2}={P}_{0}=1×1{0}^{5}Pa$，
根據(jù)理想氣體狀態(tài)方程得：$\frac{{P}_{1}{V}_{1}}{{T}_{1}}$=$\frac{{P}_{2}{V}_{2}}{{T}_{2}}$
解得：l=0.5m，
（2）若緩慢降溫至T₃，氣缸離開地面上升h=5cm時(shí)，壓強(qiáng)P₃=P₁，體積V₃=（l-x-h）S，
根據(jù)蓋•呂薩克定律得：$\frac{{V}_{1}}{{T}_{1}}=\frac{{V}_{3}}{{T}_{3}}$
解得：T₃=315K
答：（1）若彈簧的勁度系數(shù)k=500N/m，當(dāng)氣體溫度升高到T₂=500K時(shí)，彈簧處于自然狀態(tài)，此時(shí)活塞離氣缸底部的距離為0.5m；
（2）當(dāng)降低氣體溫度為某一數(shù)值時(shí)，發(fā)現(xiàn)氣缸離開地面上升了5cm，此時(shí)氣體的溫度為315K．

點(diǎn)評 本題主要考查理想氣體狀態(tài)方程的直接應(yīng)用，特別注意公式中的溫度應(yīng)該用熱力學(xué)溫度，知道有活塞時(shí)，要根據(jù)平衡條件求解氣體的壓強(qiáng)，難度適中．