Question

如圖所示，在x≥0的區(qū)域內(nèi)存在與xOy平面垂直的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度的大小為B，方向垂直于紙面向里。假設(shè)一束初速度為零的質(zhì)量為m、帶電荷量為q的正離子，經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)加速后從O點(diǎn)沿x軸正方向進(jìn)入勻強(qiáng)磁場(chǎng)區(qū)域。有一塊厚度不計(jì)、高度為d的金屬板豎直放置在磁場(chǎng)中，截面如圖，M、N分別為金屬板截面的上、下端點(diǎn)，M點(diǎn)的坐標(biāo)為（d，2d），N點(diǎn)的坐標(biāo)為（d，d）。正離子的重力不計(jì)。

（1）加速電場(chǎng)的電壓在什么范圍內(nèi)，進(jìn)入磁場(chǎng)的離子才能全部打在金屬板上？
（2）求打在金屬板上的離子在磁場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)的最短時(shí)間與最長(zhǎng)時(shí)間的比值。（sin37°=0.6， cos37°=0.8）

Answer 1

（1）要使進(jìn)入磁場(chǎng)的離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍應(yīng)為
 ≤≤
（2）

試題分析：（1）設(shè)加速電壓為，正離子初速度為零，經(jīng)過(guò)加速電場(chǎng)加速，根據(jù)動(dòng)能定理得
（1分）
正離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，洛倫茲力提供向心力：
，得（2分）

加速電壓較小時(shí)，離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑較小，當(dāng)離子恰好打到金屬板下端點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑有最小值，如圖甲所示。
根據(jù)幾何知識(shí)可以判斷：（1分）
解得 （2分）
加速電壓較大時(shí)，離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的半徑較大，當(dāng)離子恰好打到金屬板上端點(diǎn)時(shí)，圓周運(yùn)動(dòng)的半徑有最大值，如圖乙所示。
根據(jù)幾何知識(shí)可以判斷：（1分）
解得 （1分）
解得（2分）
要使進(jìn)入磁場(chǎng)的離子能全部打在金屬板上，加速電壓的取值范圍應(yīng)為
 ≤≤（1 分）
設(shè)離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期為，根據(jù)圓周運(yùn)動(dòng)規(guī)律得
（2分）
即離子在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期與加速電壓無(wú)關(guān)。
打在金屬板上的離子在圖甲所示的軌跡中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最短：
（1分）
打在金屬板上的離子在圖乙所示的軌跡中運(yùn)動(dòng)時(shí)間最長(zhǎng)：
（1分）
根據(jù)幾何知識(shí)：（1分）
則
所以（2分）