Question

7．如圖所示，半徑分別為R和r（R＞r）的甲、乙兩光滑圓軌道安置在同一豎直平面內(nèi)，兩軌道之間由一光滑水平軌道CD相連，在水平軌道CD上有一輕彈簧被a、b兩個(gè)小球夾住，但不拴接．同時(shí)釋放兩小球，a、b恰好分別通過甲、乙圓軌道的最高點(diǎn)．試求：
（1）小球a通過圓軌道甲的最高點(diǎn)時(shí)的速度．
（2）己知小球a的質(zhì)量為m，求小球b的質(zhì)量．
（3）若m_a=m_b=m，且要求a、b都還能分別通過甲、乙圓軌道的最高點(diǎn)，則彈簧在釋放前至少應(yīng)具有多大的彈性勢能？

Answer 1

分析 （1）兩球均恰能通過最高點(diǎn)，這是一個(gè)臨界狀態(tài)，此刻球的速度最小，滿足重力提供向心力，由此可求出到最高點(diǎn)的速度．
（2）釋放彈簧前后，由于無機(jī)械能與其他能的轉(zhuǎn)化，所以機(jī)械能守恒，動量守恒．由兩個(gè)守恒列式能求出b球的質(zhì)量．
（3）由能量守恒，彈簧具有的彈性勢能就為兩個(gè)球在最高點(diǎn)的機(jī)械能總和，由此可求出彈簧在釋放前至少應(yīng)具有多大的彈性勢能．

解答 解：（1）小球在最高點(diǎn)受重力，彈力（方向均豎直向下），當(dāng)小球a恰能通過圓軌道甲的最高點(diǎn)時(shí)，彈力為零，則有：$mg=m\frac{{v}_{a}{′}^{2}}{R}$
得：${v}_{a}′=\sqrt{gR}$
（2）同樣道理，小球b通過圓軌道乙的最高點(diǎn)時(shí)，由${m}_g={m}_\frac{{v}_{′}^{2}}{r}$得：${v}_′=\sqrt{gr}$
 設(shè)兩小球離開 彈簧瞬間的速度分別為v_a、v_b，由機(jī)械能守恒定律有：
  $\frac{1}{2}m{{v}_{a}}^{2}=\frac{1}{2}m{v}_{a}{′}^{2}+mg•2R$
  $\frac{1}{2}{m}_{{v}_}^{2}=\frac{1}{2}{m}_{{v}_′}^{2}+{m}_g•2r$
  解得：v_a=$\sqrt{5gR}$，v_b=$\sqrt{5gr}$
  又由動量守恒定律有：$m•\sqrt{5gR}={m}_\sqrt{5gr}$
  解得：m_b=$\sqrt{\frac{R}{r}}m$
（3）當(dāng)m_a=m_b=m時(shí)，V_a=V_b，又由（1）（2）知，小球a能通過圓軌道甲的最高點(diǎn)，在剛離開彈簧時(shí)的速度條件為：${v}_{a}≥\sqrt{5gR}$，
故彈簧釋放前至少具有的彈簧勢能為：E_p=$2×\frac{1}{2}m（\sqrt{5gR}）^{2}=5mgR$
答：（1）小球a通過圓軌道甲的最高點(diǎn)時(shí)的速度為$\sqrt{gR}$．
（2）己知小球a的質(zhì)量為m，小球b的質(zhì)量為$\sqrt{\frac{R}{r}}m$．
（3）若m_a=m_b=m，且要求a、b都還能分別通過甲、乙圓軌道的最高點(diǎn)，則彈簧在釋放前至少應(yīng)具有5mgR的彈性勢能．

點(diǎn)評 本題考察的是動量守恒和機(jī)械能守恒的特殊情況，綜合圓周運(yùn)動向心力的臨界狀態(tài)．這里要注意的是不能把最高點(diǎn)的速度看成是零，這樣的話小球到不了最高點(diǎn)時(shí)速度已經(jīng)變?yōu)榱懔耍?/p>