Question

7．如圖所示，傾角為θ的固定粗糙斜面上有一物塊A，物塊到斜面底端的高度為h，緊靠斜面底端有一長為L的長木板B停放在光滑的水平面上，斜面底端剛好與長木板上表面左端接觸，長木板上表面粗糙，右端與一四分之一圓弧面C粘接在一起，圓弧面左端與木板平滑相接，現(xiàn)釋放物塊A讓其從斜面上滑下．圓弧面表面光滑，圓弧面的半徑為R，物塊與斜面長木板表面的動摩擦因數(shù)均為μ，A、B、C三者的質(zhì)量相等，重力加速度大小為g，不計物塊A從斜面滑上木板時的機械能損失．
（1）求物塊A到達斜面底端時的速度大小v；
（2）改變物塊A有靜止釋放的位置，要使物塊A能滑上圓弧面C，求其開始下滑時到斜面底端的高度h₁需滿足的條件；
（3）改變物塊A由靜止釋放的位置，若物塊A恰好能滑到圓弧面C的最高點，求其開始下滑時到斜面底端的高度h₂．

Answer 1

分析 （1）物塊A沿斜面下滑的過程中，重力做正功，滑動摩擦力做負(fù)功，由動能定理求物塊A到達斜面底端時的速度大小v；
（2）先由動能定理求出物塊A到達斜面底端時的速度表達式．物塊A恰能滑上圓弧面C時，三個物體的速度相同，根據(jù)動量守恒定律求得共同速度，再由能量守恒定律求解即可．
（3）物塊A恰好能滑到圓弧面C的最高點時，A與C的速度相同．由A、B、C系統(tǒng)的水平動量守恒和能量守恒結(jié)合求高度h₂．

解答 解：（1）物塊A在斜面上下滑的過程，由動能定理得：
mgh-μmgcosθ•$\frac{h}{sinθ}$=$\frac{1}{2}$mv²-0
解得：v=$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$
（2）當(dāng)物塊A從到斜面底端的高度為h₀時開始下滑，滑到長木板右端時，恰好與圓弧槽、長木板的速度相同，此種情況下，與（1）同理可得，物塊A到達斜面底端時的速度大小為：
v₁=$\sqrt{2g{h}_{0}-\frac{2μg{h}_{0}}{tanθ}}$．
設(shè)物塊A滑到長木板右端時速度大小為v₁′，取向右為正方向，根據(jù)動量守恒定律得：
mv₁=3mv₁′．
由功能關(guān)系有：μmgL=$\frac{1}{2}$mv₁²-$\frac{1}{2}•$3mv₁′²．
解得：h₀=$\frac{3μLtanθ}{2（tanθ-μ）}$
故h₁需滿足的條件是：h₁＞$\frac{3μLtanθ}{2（tanθ-μ）}$．
（3）若物塊A恰能滑到圓弧面C的最高點，則物塊A滑到圓弧槽的最高點時物塊與圓弧槽、長木板具有共同速度，此種情況下，物體A到達斜面底端時的速度大小為：
v₂=$\sqrt{2g{h}_{2}-\frac{2μg{h}_{2}}{tanθ}}$
設(shè)物塊滑到圓弧面C的最高點時的速度為v₃．根據(jù)動量守恒定律得：
mv₂=3mv₃．
由功能關(guān)系有：μmgL=$\frac{1}{2}$mv₂²-$\frac{1}{2}•$3mv₃²-mgR
解得：h₂=$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$
答：（1）物塊A到達斜面底端時的速度大小v是$\sqrt{2gh-\frac{2μgh}{tanθ}}$；
（2）改變物塊A有靜止釋放的位置，要使物塊A能滑上圓弧面C，其開始下滑時到斜面底端的高度h₁需滿足的條件是 h₁＞$\frac{3μLtanθ}{2（tanθ-μ）}$；
（3）改變物塊A由靜止釋放的位置，若物塊A恰好能滑到圓弧面C的最高點，其開始下滑時到斜面底端的高度h₂是$\frac{3（μL+R）tanθ}{2（tanθ-μ）}$．

點評 解決本題的關(guān)鍵是要把握功與能的關(guān)系，挖掘隱含的臨界條件：物塊到達C的最高點時三個物體的速度相等．