Question

7．如圖所示，間距為L平行且足夠長的光滑導軌由兩部分組成：傾斜部分與水平部分平滑相連，傾角為θ，在傾斜導軌頂端連接一阻值為r的定值電阻．質量為m、電阻也為r的金屬桿MN垂直導軌跨放在導軌上，在傾斜導軌區(qū)域加以垂直導軌平面向下、磁感應強度為B的勻強磁場；在水平導軌區(qū)域加另一垂直軌道平面向下、磁感應強度也為B的勻強磁場．閉合開關S，讓金屬桿MN從圖示位置由靜止釋放，已知金屬桿運動到水平軌道前，已達到最大速度，不計導軌電阻且金屬桿始終與導軌接觸良好，重力加速度為g．求：
（1）金屬桿MN在傾斜導軌上滑行的最大速率v_m；
（2）金屬桿MN在傾斜導軌上運動，速度未達到最大速度v_m前，當流經定值電阻的電流從零增大到I₀的過程中，通過定值電阻的電荷量為q，求這段時間內在定值電阻上產生的焦耳熱Q；
（3）金屬桿MN在水平導軌上滑行的最大距離x_m．

Answer 1

分析 （1）金屬桿達到最大速度時，受重力、支持力和安培力，根據平衡條件列式求解安培力，根據安培力公式和切割公式列式求解最大速度；
（2）當流經定值電阻的電流從零增大到I₀的過程中，先根據切割公式、歐姆定律公式和電流定義式聯立求解得到位移；再對該過程根據功能關系列式求解產生的電熱；
（3）在水平面上滑動過程，根據切割公式、歐姆定律公式、安培力公式得到安培力表達式，再結合微元法列式分析求解即可．

解答 解：（1）金屬桿MN在傾斜導軌上滑行的速度最大時，其受到的合力為零，
對其受力分析，可得：mgsinθ-BIL=0…①
根據歐姆定律可得：I=$\frac{BL{v}_{m}}{2r}$…②
聯立可得：v_m=$\frac{2mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）設在這段時間內，金屬桿運動的位移為x，由電流的定義可得：q=$\overline{I}t$…③
根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律得：$\overline{I}=\frac{B△S}{2r△t}=\frac{BLx}{2r△t}$…④
聯立③④得：$q=\frac{BLx}{2r}$      
解得：x=$\frac{2qr}{BL}$；
設電流為I₀時金屬桿的速度為v，根據法拉第電磁感應定律、歐姆定律，可得：I₀=$\frac{BLv}{2r}$…⑤
設此過程中，電路產生的焦耳熱為Q，由功能關系可得：mgxsinθ=Q+$\frac{1}{2}m{v}^{2}$…⑥
電阻R產生的焦耳熱Q_熱=$\frac{1}{2}Q$…⑦
聯立可得：Q_熱=$\frac{mgqrsinθ}{BL}-\frac{m{I}_{0}^{2}{r}^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$，
（3）設金屬桿在水平導軌上滑行的最大距離為x_m，
由牛頓第二定律得：BIL=ma…⑧
由法拉第電磁感應定律、歐姆定律和電流的定義可得：I=$\frac{BLv}{2r}$…⑨
聯立⑧⑨可得：$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2r}v=m\frac{△v}{△t}$，
$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2r}v△t=m△v$，即$\frac{{B}^{2}{L}^{2}}{2r}{x}_{m}=m{v}_{m}$，
得：${x}_{m}=\frac{4{m}^{2}g{r}^{2}sinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$；
答：（1）金屬桿MN在傾斜導軌上滑行的最大速率v_m為$\frac{2mgrsinθ}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（2）這段時間內在定值電阻上產生的焦耳熱Q為$\frac{mgqrsinθ}{BL}-\frac{m{I}_{0}^{2}{r}^{2}}{{B}^{2}{L}^{2}}$；
（3）金屬桿MN在水平導軌上滑行的最大距離x_m為$\frac{4{m}^{2}g{r}^{2}sinθ}{{B}^{4}{L}^{4}}$．

點評 本題是滑軌問題，關鍵是熟練運用切割公式、歐姆定律公式和安培力公式，同時要注意求解電熱時用功能關系列式分析，求解電荷量和位移時用平均值分析．