Question

9．如圖所示，一個所受重力為G的小環(huán)套在豎直放置的半徑為R的光滑大環(huán)上．一輕質(zhì)彈簧的自然長度為L（L＜2R），其一端固定在大圓環(huán)的頂點A，另一端與小環(huán)相連，當(dāng)彈簧勁度系數(shù)k=k₀時，環(huán)靜止平衡時位于大環(huán)上的B點，此時彈簧與豎直方向的夾角θ滿足關(guān)系式cosθ=$\frac{{k}_{0}L}{2（{k}_{0}R-G）}$．分析：當(dāng)k取不同值時，彈簧與豎直方向的夾角θ、彈簧彈性力及大環(huán)對小環(huán)的正壓力如何變化？

Answer 1

分析 以小球為研究對象，分析受力情況，畫出力圖，根據(jù)平衡條件，運用三角形相似法求解彈簧與豎直方向的夾角θ．

解答 解：以小球為研究對象，則小球受到重力、彈簧的彈力和大環(huán)的彈力，小球處于平衡狀態(tài)，所以受到的三個力的矢量合成關(guān)系如圖：

由相似三角形關(guān)系，則：$\frac{F}{G}$=$\frac{2Rcosθ}{R}$，cosθ=$\frac{{k}_{0}L}{2（{k}_{0}R-G）}$，
所以：F=2G cosθ=$\frac{{k}_{0}LG}{{k}_{0}R-G}$．
又：$\frac{N}{G}$=$\frac{R}{R}$，N=G，k₀減小時，θ減小，F(xiàn)增大，N不變，
當(dāng)$\frac{k'L}{2（k'R-G）}$=1時，cosθ=1，θ=0，對應(yīng)的k′=$\frac{2G}{2R-L}$，彈性力達到最大，最大值為2G．
k繼續(xù)減小，θ保持為0，彈簧伸長量不變，但k減小，彈性力繼續(xù)減小，k′≥k≥k″=$\frac{G}{2R-L}$時（對應(yīng)于k″（2R-L）=G），彈性力在區(qū)間（2G≥F≥G），在這過程中G≥N≥0，k＜k″時，N方向轉(zhuǎn)為向上，值不斷增加，F(xiàn)繼續(xù)減小，滿足k（2R-L）+N=G，
答：當(dāng)$\frac{k'L}{2（k'R-G）}$=1時，cosθ=1，θ=0，對應(yīng)的k′=$\frac{2G}{2R-L}$，彈性力達到最大，最大值為2G．
k繼續(xù)減小，彈性力繼續(xù)減小，k′≥k≥k″=$\frac{G}{2R-L}$時，彈性力在區(qū)間（2G≥F≥G），在這過程中G≥N≥0，
k＜k″時，N方向轉(zhuǎn)為向上，值不斷增加，F(xiàn)繼續(xù)減小，滿足k（2R-L）+N=G．

點評 本題涉及非直角三角形的力平衡問題，運用三角相似法處理，也可以運用三角函數(shù)法研究．