Question

13．如圖所示，坐標(biāo)系xOy在豎直平面內(nèi)，y軸沿豎直方向，第二、三和四象限有沿水平方向、垂直紙面向外的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，第四象限的空間內(nèi)有沿x軸正方向的勻強(qiáng)電場(chǎng)，場(chǎng)強(qiáng)為E，一個(gè)帶正電荷的小球從圖中x軸上的M點(diǎn)，沿著與水平方向成θ=30°角斜向下的直線做勻速運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過y軸上的N點(diǎn)進(jìn)入x＜0的區(qū)域內(nèi)，在x＜0區(qū)域內(nèi)加一勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁（圖中未畫出），小球進(jìn)入x＜0區(qū)域后能在豎直面內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)（已知重力加速度為g）
（1）求勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁的大小和方向；
（2）若帶電小球做圓周運(yùn)動(dòng)通過y軸上的P點(diǎn)（P點(diǎn)未標(biāo)出），求小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用的時(shí)間t；
（3）若要使小球從第二象限穿過y軸后能夠沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，可在第一象限加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，求此電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值E₂，并求出這種情況下小球到達(dá)M點(diǎn)的速度v_M．

Answer 1

分析 （1）由于帶電小球在第四象限x＜0區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，那么它受到的重力與電場(chǎng)力抵消，在洛侖茲力作用下做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，由重力與電場(chǎng)力平衡從而能求出該區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度大小和方向．但題目并沒有告訴小球的質(zhì)量，所以要從小球在第Ⅳ做勻減速直線運(yùn)動(dòng)，由三力平衡從而求出小球的重力和小球勻速直線運(yùn)動(dòng)的速度．
（2）小球從N點(diǎn)與y軸成60°進(jìn)入x＜0區(qū)域內(nèi)做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，當(dāng)小球再次回到y(tǒng)軸時(shí)，由圓周運(yùn)動(dòng)的對(duì)稱性，速度方向偏轉(zhuǎn)300°，從N到P的時(shí)間是$\frac{2}{3}T$．
（3）由題意，小球所受合力的方向一定沿著PM方向，由力的合成法則，電場(chǎng)力的最小值就垂直于PM斜向右上．由平行四邊形定則就能求出E₂ ．

解答 解：（1）設(shè)小球質(zhì)量為m，電量為q，速度為v，球在MN段受力如圖，因?yàn)樵贛N段做勻速直線運(yùn)動(dòng)，
  所以球受到如圖所示的三個(gè)而平衡．
  mgtan30°=qE
  qvBsin30°=qE
  解得：$mg=\sqrt{3}qE$
      $v=\frac{2E}{B}$
  在x＜0區(qū)域內(nèi)，有mg=qE₁
  由以上各式解得E₁=$\sqrt{3}E$，方向?yàn)樨Q直向上．
（2）球在磁場(chǎng)中做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的周期是
  $T=\frac{2πR}{v}$
 而  $qvB=m\frac{{v}^{2}}{R}$
  $t=\frac{2}{3}T$
  故小球從N到P經(jīng)歷的時(shí)間是：$t=\frac{4\sqrt{3}πE}{3Bg}$
（3）小于從P點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，由受力分析可知：qE₂=mgcos30°
  由以上各式得：${E}_{2}=\frac{3}{2}E$
  這種情況下，小球從P點(diǎn)沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)的加速度為
  a=gsin30°=$\frac{1}{2}g$
  由幾何關(guān)系可知，PM的距離為s=Rcot30°
  所求${v}_{M}=\sqrt{{{v}_{x}}^{2}+2as}$
  由以上各式得${v}_{M}=\sqrt{10}\frac{E}{B}$
答：（1）勻強(qiáng)電場(chǎng)E₁的大小為$\sqrt{3}E$、方向?yàn)樨Q直向上．
（2）若帶電小球做圓周運(yùn)動(dòng)通過y軸上的P點(diǎn)（P點(diǎn)未標(biāo)出），小球從N點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到P點(diǎn)所用的時(shí)間t為$\frac{4\sqrt{3}πE}{3Bg}$
（3）若要使小球從第二象限穿過y軸后能夠沿直線運(yùn)動(dòng)到M點(diǎn)，可在第一象限加一勻強(qiáng)電場(chǎng)，則此電場(chǎng)強(qiáng)度的最小值E₂為$\frac{3}{2}E$，這種情況下小球到達(dá)M點(diǎn)的速度v_M為$\sqrt{10}\frac{E}{B}$．

點(diǎn)評(píng) 此題是一道共點(diǎn)力平衡以及勻速圓周運(yùn)動(dòng)的綜合題，不同常規(guī)的是：①該題已知的不是質(zhì)量而是場(chǎng)強(qiáng)，所以先要根據(jù)第Ⅳ象限內(nèi)做勻速直線運(yùn)動(dòng)的平衡情況求出小球的質(zhì)量和速度．②受三個(gè)力做勻速圓周運(yùn)動(dòng)，則只有重力和電場(chǎng)力抵消才能在洛侖茲力作用下作勻速圓周運(yùn)動(dòng)，從而求出x＜0區(qū)域內(nèi)的電場(chǎng)強(qiáng)度．③在第一象限沿直線從P到M點(diǎn)，則考察的是做直線運(yùn)動(dòng)的條件：合力與速度方向在一條直線上．