Question

（25分） 如圖所示，在一個(gè)勁度系數(shù)為 k的輕質(zhì)彈簧兩端分別拴著一個(gè)質(zhì)量為 m 的小球A和質(zhì)量為 2m的小球B．A用細(xì)線拴住懸掛起來，系統(tǒng)處于靜止?fàn)顟B(tài)，此時(shí)彈簧長度為．現(xiàn)將細(xì)線燒斷，并以此時(shí)為計(jì)時(shí)零點(diǎn)，取一相對地面靜止的、豎直向下為正方向的坐標(biāo)軸Ox，原點(diǎn)O與此時(shí)A球的位置重合如圖．試求任意時(shí)刻兩球的坐標(biāo)．

Answer 1

解法一：

對于由小球A、B和彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)，當(dāng)A、B之間的距離為l時(shí)，已知m_A = m，m_B = 2m，由質(zhì)心的定義，可知系統(tǒng)的質(zhì)心C離A的距離

                  （1）

故A、B到質(zhì)心C的距離分別為

               （2）

若以質(zhì)心C為參考系（質(zhì)心系），則質(zhì)心C是固定不動(dòng)的，連接A、B的彈簧可以分成兩個(gè)彈簧CA和CB．設(shè)彈簧CA的自然長度為l_A0，勁度系數(shù)為k_A，一端與小球A相連，另一端固定在C點(diǎn)；彈簧CB的的自然長度為l_B0，勁度系數(shù)為k_B，一端與小球B相連，另一端亦固定在C點(diǎn)．若連接A、B的自然長度為l₀，根據(jù)題意有

       （3）

由（2）式可知彈簧CA和CB的自然長度分別為

          （4）

       當(dāng)A被懸掛，系統(tǒng)處于靜止時(shí)，已知連接A、B的彈簧長度為l，由（2）式可知，此時(shí)彈簧CA和CB的長度分別為

       （5）

彈簧CA、CB作用于A、B的彈簧力分別為

但f_A 、f_B就是連接A、B的彈簧因拉伸而產(chǎn)生的彈力f，即有

由此得

       （6）

相對地面，質(zhì)心C是運(yùn)動(dòng)的，在t = 0 時(shí)刻，即細(xì)線剛燒斷時(shí)刻，A位于Ox軸的原點(diǎn)O處，即；B的坐標(biāo)．由（1）式，可知此時(shí)質(zhì)心C的坐標(biāo)為

       （7）

在細(xì)線燒斷以后，作用于系統(tǒng)的外力是重力．故質(zhì)心以g為加速度做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，任意時(shí)刻t，質(zhì)心的坐標(biāo)

       （8）

由于質(zhì)心作加速運(yùn)動(dòng)，質(zhì)心系是非慣性系．在非慣性參考系中，應(yīng)用牛頓第二定律研究物體的運(yùn)動(dòng)時(shí)，物體除受真實(shí)力作用外，還受慣性力作用．若在質(zhì)心系中取一坐標(biāo)軸，原點(diǎn)與質(zhì)心C固連，取豎直向下為軸的正方向，當(dāng)小球B在這參考系中的坐標(biāo)為時(shí)，彈簧CB作用于B的彈性力

當(dāng)時(shí)，方向豎直向上．此外，B還受到重力mg，方向豎直向下；慣性力大小為mg，方向豎直向上．作用于B的合力

由（3）、（4）式得

       （9）

令

       （10）

有

       （11）

當(dāng)X_B = 0，作用于B的合力F_B = 0，B處于平衡狀態(tài)，由（10）式，可知在質(zhì)心系中，B的平衡位置的坐標(biāo)

       （12）

X_B為B離開其平衡位置的位移，（11）式表明，作用于B的合力具有彈性力的性質(zhì)，故在F_B作用下， B將在平衡位置附近作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)圓頻率

       （13）

離開平衡位置的位移

       （14）

A_B為振幅，為初相位．在t = 0時(shí)刻，即細(xì)線剛燒斷時(shí)刻，B是靜止的，故此時(shí)B離開其平衡位置的距離就是簡諧振動(dòng)的振幅A_B，而在t = 0時(shí)刻，B離開質(zhì)心的距離即（5）式給出的l_B，故B離開平衡位置的距離即振幅

由（5）式、（12）式得

              （15）

因t = 0，X_B =A_B，且X_B是正的，故

由此得

             （16）

由（10）式，t時(shí)刻B在質(zhì)心系中的坐標(biāo)

            （17）

在地面參考系的坐標(biāo)

             （18）

得

         （19）

同理，當(dāng)小球A在質(zhì)心系中的坐標(biāo)為時(shí)，注意到是負(fù)的，這時(shí)，彈簧CA的伸長量為

，

當(dāng)為負(fù)時(shí)，彈力向下，為正，當(dāng)為正時(shí)，彈力向上，為負(fù)，故有

作用于A的合力為

令

有

當(dāng)X_A=0，作用于A的合力F_B = 0，A處于平衡狀態(tài)，A的平衡位置的坐標(biāo)

       （20）

X_A為A離開其平衡位置的位移，故在合力F_A作用下， A將在平衡位置附近作簡諧振動(dòng)，振動(dòng)圓頻率

       （21）

離開平衡位置的位置

A_A為振幅，為初相位．在t = 0時(shí)刻，即細(xì)線剛燒斷時(shí)刻，A是靜止的，A離開質(zhì)心C的距離為l_A，A的平衡位置離開質(zhì)心的距離為故此時(shí)A離開平衡位置的距離即為振幅A_A，

 

而此時(shí)，故

由此得

                                              （22）

在時(shí)刻t，A在地面參考系中的坐標(biāo)

       

解法二：

當(dāng)球相對于地面參考系的坐標(biāo)為時(shí)，彈簧的伸長量為，所受的合力為

         

其加速度為

                  

其相對于質(zhì)心的加速度為

    

其中表示球相對于其平衡位置的位移，在相互平動(dòng)的兩個(gè)參考系中，相對位移與參考系無關(guān)．

    上式表明，相對質(zhì)心，球的加速度與其相對于平衡位置的位移成正比且反向．也就是說，球相對質(zhì)心作簡諧振動(dòng)．

     同理可證，

            

                     

其相對于質(zhì)心的加速度為

                    

其中表示球相對于其平衡位置的位移，相對質(zhì)心，球的加速度與其相對于平衡位置的位移成正比且反向，即球相對質(zhì)心也作簡諧振動(dòng)．且有與振動(dòng)的圓頻率相等， 

                           

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解法三： 

在地面參考系中，列A、B的牛頓定律方程

        

2       

x₁、x₂是A、B的坐標(biāo)，l₀是彈簧的自然長．

    時(shí)，有

       

為初始時(shí)即細(xì)線剛燒斷時(shí)刻，彈簧的長度，有關(guān)系

       

所以

       

由+，

       

令，是一個(gè)恒定的加速度，結(jié)合初始條件，對應(yīng)的坐標(biāo)和運(yùn)動(dòng)方程是，

       

再由，

              

這是一個(gè)以A為參考系描寫B(tài)物體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，且是簡諧的，所以直接寫出解答，

結(jié)合初條件，

             

              

得到

             

             

所以

       

即

               

由，得

                

由+，得