20.如圖所示,在區(qū)域足夠大的空間中充滿磁感應強度大小為B的勻強磁場,其方向垂直于紙面向里.在紙面內(nèi)固定放置一絕緣材料制成的邊長為L的等邊三角形框架DEF,DE中點S處有一粒子發(fā)射源,發(fā)射粒子的方向皆在圖中截面內(nèi)且垂直于DE邊向下,如圖(a)所示.發(fā)射粒子的電量為+q,質(zhì)量為m,但速度v有各種不同的數(shù)值.若這些粒子與三角形框架碰撞時均無能量損失,且每一次碰撞時速度方向垂直于被碰的邊.試求:

(1)帶電粒子的速度v為多大時,能夠打到E點?
(2)為使S點發(fā)出的粒子最終又回到S點,且運動時間最短,v應為多大?最短時間為多少?
(3)若磁場是半徑為a的圓柱形區(qū)域,如圖(b)所示(圖中圓為其橫截面),圓柱的軸線通過等邊三角形的中心O,且a=$(\frac{{\sqrt{3}}}{3}+\frac{1}{10})$L.要使S點發(fā)出的粒子最終又回到S點,帶電粒子速度v的大小應取哪些數(shù)值?

分析 (1)根據(jù)粒子在磁場中運動的半徑公式,結合幾何關系得出半徑與SE的關系,從而求出粒子的速度;
(2)粒子在磁場中運動的周期與速度無關,當粒子在磁場中偏轉的角度最小時,運動時間最短,可知當粒子在磁場中運動的軌道半徑等于$\frac{L}{2}$時,運動的時間最短,結合圓心角求出運動的最短時間,結合半徑公式求出速度的大;
(3)S點發(fā)出的粒子最終又回到S點必須滿足(2)的條件.要求此粒子每次與△DEF的三條邊碰撞時都與邊垂直,且能回到S點;粒子能繞過頂點與△DEF的邊相碰,根據(jù)半徑公式和幾何關系求出粒子的速度

解答 解:(1)從S點發(fā)射的粒子將在洛侖茲力作用下做圓周運動,即:$qvB=\frac{{m{v^2}}}{R}$    ①
因粒子圓周運動的圓心在DE上,每經(jīng)過半個園周打到DE上一次,
所以粒子要打到E點應滿足:$\frac{1}{2}L=n•2R,({\;}\right.n=1,2,3…\left.{\;})$②
由①②得打到E點的速度為:$v=\frac{qBL}{4nm}$,(n=1,2,3…);
(2)由題意知,S點發(fā)射的粒子最終又回到S點的條件是:
$R=\frac{\bar S\bar E}{2n-1}=\frac{L}{2}\frac{1}{2n-1},(n=1,2,3…)$,粒子速度:v=$\frac{qBL}{2(2n-1)m}$ (n=1、2、3…),
在磁場中粒子做圓周運動的周期$T=\frac{2πR}{v}=\frac{2πm}{qB}$,與粒子速度無關,
所以,粒子圓周運動的次數(shù)最少(n=1)時,運動的時間最短,這時:$R=\frac{mv}{qB}=\frac{L}{2}$時時間最短,
粒子以三角形的三個頂點為圓心運動,每次碰撞所需時間:${t_1}=\frac{5}{6}T$
經(jīng)過三次碰撞回到S點,粒子運動的最短時間:$t=3{t_1}=\frac{5}{2}T=\frac{5πm}{qB}$
(3)設E點到磁場區(qū)域邊界的距離為L',由題設條件知$L'=a-\frac{L}{2}\frac{1}{{cos{{30}^0}}}=\frac{L}{10}$
S點發(fā)射的粒子要回到S點就必須在磁場區(qū)域內(nèi)運動,即滿足條件:R≤L',即$R≤\frac{L}{10}$
又知$R=\frac{\bar S\bar E}{2n-1}=\frac{L}{2}\frac{1}{2n-1},(n=1,2,3…)$,當n=1時,$R=\frac{L}{2}$
當n=2時,$R=\frac{L}{6}$當n=3時,$R=\frac{L}{10}$當n=4時,$R=\frac{L}{14}$
所以,當n=3,4,5…時,滿足題意.由于$R=\frac{mv}{qB}$,代入上式得$\frac{L}{2}\frac{1}{2n-1}=\frac{mv}{qB}$
解得速度的值:$v=\frac{qBL}{2(2n-1)m}$,(n=3,4,5…)
答:(1)帶電粒子的速度v為$\frac{qBL}{4nm}$  (n=1、2、3、…)時,能夠打到E點.
(2)為使S點發(fā)出的粒子最終又回到S點,且運動時間最短,v為$\frac{qBL}{2(2n-1)m}$(n=1、2、3…),最短時間為$\frac{5πm}{qB}$.
(3)帶電粒子速度v的大小取值為:$\frac{qBL}{2(2n-1)m}$  (n=3、4、5…).

點評 解決本題的關鍵得出粒子在磁場中運動的半徑通項表達式,確定半徑為何值時恰好打在E點,何時能夠回到S點,結合半徑公式和周期公式進行求解.注意結合幾何特性及半徑與長度的關系,從而確定運動軌跡,這是解題的關鍵.

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