Question

3．如圖所示，半徑為R的光滑半圓軌道與粗糙的斜面相切于B點，斜面與水平面呈θ=37°角．質量為m=1.0kg的小物塊（可視為質點），與斜面間的動摩擦因素μ=0.25，由靜止從A點釋放物塊，到達B點進入半圓軌道時無能量損失，物塊恰好能通過最高點C后離開半圓軌道．一直S_AB=2m，g取10m/s²．（sin37°=0.6，cos37°=0.8）
（1）求物塊從A運動到B的時間t和到達B點的速度大小v_B；
（2）求半圓軌道半徑R；
（3）如果小物塊由靜止仍從A點釋放，使之能沿半圓軌道返回B點，求半徑R的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）對物塊進行受力分析求得合外力，然后由牛頓第二定律求得加速度，即可根據(jù)勻變速運動規(guī)律求得運動時間和末速度；
（2）根據(jù)牛頓第二定律求得在C點的速度，然后對從B到C的運動過程應用機械能守恒求得半徑；
（3）對物塊從B到最高點應用機械能守恒即可求得高度，然后根據(jù)物塊圓軌道返回得到半徑范圍．

解答 解：（1）物塊在AB上運動，受到的合外力F=mgsinθ-μmgcosθ=0.2mg=2N，所以，加速度a=2m/s²；
那么由勻變速運動規(guī)律可得：物塊從A運動到B的時間$t=\sqrt{\frac{2{S}_{AB}}{a}}=\sqrt{2}s$，到達B點的速度${v}_{B}=at=2\sqrt{2}m/s$；
（2）物塊恰好能通過最高點C，故對物塊在C點應用牛頓第二定律可得：$mg=\frac{m{{v}_{C}}^{2}}{R}$；
物塊在半圓軌道上運動只有重力做功，故機械能守恒，則有：$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=2mgR+\frac{1}{2}m{{v}_{C}}^{2}=\frac{5}{2}mgR$，所以，$R=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{5g}=0.16m$；
（3）小物塊由靜止仍從A點釋放，故物塊在B處的速度仍為${v}_{B}=2\sqrt{2}m/s$；
要使物塊沿半圓軌道返回B點，那么物塊在半圓軌道上運動能達到的最高點的豎直高度h≤R；
又有物塊在半圓軌道上運動只有重力做功，機械能守恒，所以有$\frac{1}{2}m{{v}_{B}}^{2}=mgh$，所以，$R≥h=\frac{{{v}_{B}}^{2}}{2g}=0.4m$；
答：（1）物塊從A運動到B的時間t為$\sqrt{2}s$；到達B點的速度大小v_B為$2\sqrt{2}m/s$；
（2）半圓軌道半徑R為0.16m；
（3）如果小物塊由靜止仍從A點釋放，使之能沿半圓軌道返回B點，半徑R不小于0.4m．

點評 經典力學問題一般先對物體進行受力分析，求得合外力及運動過程做功情況，然后根據(jù)牛頓定律、動能定理及幾何關系求解．