Question

17．如圖所示，直線MN下方無磁場，上方空間存在兩個有界勻強磁場，分布在以O 點為圓心、半徑為R和2R的兩半圓之間區(qū)域的磁場方向垂直紙面向里，分布在以O點為圓心、半徑為R的半圓內的磁場方向垂直紙面向外，磁感應強度大小都為B．現(xiàn)有一質量為m、電荷量為q的帶負電微粒從P點沿半徑方向向左側射出，最終打到Q點，不計微粒的重力．
求：（1）微粒在磁場中從P點轉過90°所用的時間；
（2）微粒從P點到Q點運動的最大速度；
（3）微粒從P點到Q點可能的運動時間．

Answer 1

分析 （1）粒子在磁場中做圓周運動，根據周期公式以及粒子在磁場中轉過的圓心角，即可求出粒子的運動時間；
（2）作出速度最大時粒子的運動軌跡，然后求出粒子的軌道半徑，根據半徑公式即可求出粒子的速度；
（3）根據題意作出粒子可能的運動軌跡，由牛頓第二定律與數(shù)學知識分析得出粒子運動的可能的情況，然后由周期公式結合所轉過的圓心角即可求出粒子運動時間．

解答 解：（1）微粒在磁場中轉過90°所用的時間為周期的$\frac{1}{4}$T=$\frac{2πm}{qB}$
微粒做圓周運動的周期：$T=\frac{2πr}{v}=\frac{2πm}{Bq}$ ①
t=$\frac{T}{4}$ ②
聯(lián)立①②式可得：t=$\frac{πm}{2qB}$
（2）粒子從P點到Q點，速度越大，則運動半徑越大．半徑最大時可能的運動情況如圖所示，

此時運動半徑r=R，此時要求磁場區(qū)域外半徑為（1+$\sqrt{2}$）R，不符合題意；
那么軌跡有可能為下圖所示

此時根據幾何關系可得：r=Rtan30° ③
根據洛倫茲力提供向心力可得：qvB=m$\frac{{v}^{2}}{r}$ ④
聯(lián)立③④式可得：v=$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$
（3）設粒子在磁場中的運動軌跡為n段圓弧，

若n為偶數(shù)，運動時間恰好為整數(shù)個周期
t=$\frac{nπm}{qB}$ （n=2，4，6…）
若n為奇數(shù)，運動時間為整數(shù)個周期加一個優(yōu)弧對應的運動時間
t=$\frac{（n-1）}{2}•\frac{2πm}{qB}+\frac{π（1+\frac{1}{n}）}{2π}•\frac{2πm}{qB}$=$\frac{{（n}^{2}+1）πm}{nqB}$  （n=1，3，5…）
答：：（1）微粒在磁場中從P點轉過90°所用的時間為$\frac{πm}{2qB}$；
（2）微粒從P點到Q點運動的最大速度為$\frac{\sqrt{3}qBR}{3m}$；
（3）當n為偶數(shù)時，從P點到Q點可能的運動時間為$\frac{nπm}{qB}$；當n為奇數(shù)時，從P點到Q點可能的運動時間為$\frac{{（n}^{2}+1）πm}{nqB}$．

點評 本題考查了粒子在磁場中的運動，運用洛倫茲力提供向心力結合幾何關系去解決問題，根據題意作出粒子運動軌跡，結合題意找出相應的臨界條件是正確解題的前提與關鍵．